- •Введение
- •Раздел 1. ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
- •1.1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
- •§1. Матрицы и действия с ними
- •§2. Определители
- •§3. Обратная матрица
- •§4. Крамеровские системы линейных уравнений. Метод Крамера
- •§5. Крамеровские системы линейных уравнений. Матричный метод решения систем линейных уравнений
- •§6. Ранг матрицы
- •§7. Системы линейных уравнений: общий случай
- •§8. Метод Гаусса
- •§9. Однородные системы
- •1.2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
- •§12. Базис и координаты
- •§13. Орт и направляющие косинусы
- •§15. Векторное произведение векторов
- •§16. Смешанное произведение векторов
- •§17. Основные понятия
- •§18. Полярная система координат
- •§19. Прямая на плоскости
- •§20. Кривые второго порядка. Эллипс
- •§21. Гипербола
- •§22. Парабола
- •§23. Плоскость
- •§24. Прямая в пространстве
- •§25. Поверхности второго порядка
- •Раздел 3. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
- •3.2. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
- •§ 29. Предел функции
- •§ 30. Основные свойства пределов функции
- •§ 31. Замечательные пределы
- •3.3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
- •§ 32. Непрерывность функции в точке
- •§ 33. Точки разрыва графика функции и их классификация
- •§ 34. Определение производной функции
- •§ 35. Производные некоторых элементарных функций
- •§ 36. Основные правила дифференцирования
- •§ 39. Дифференциал функции
- •§ 40. Производные и дифференциалы высших порядков
- •§ 41. Правило Лопиталя
- •§ 43. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
- •§ 44. Схема исследования функции и построения графика
- •§ 45. Формула Тейлора
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Библиографический список
ция), и решим её относительно переменных x1,x2. Остальныеn r 5 2 3 переменные x3,x4,x5 считаем свободными:
С |
|
|
3x 2x |
2 |
1 x x |
4 |
x ; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x1 x2 x3 |
2x4 x5; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Решая эту с стему по формулам Крамера, получим |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
1 |
|
1 |
|
1 x3 |
x4 |
x5 |
2 |
|
1 x 5x 3x ; |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
бА |
|
4 |
|
5 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
1 |
x |
2x |
4 |
x |
5 |
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
|
|
2 |
2 |
3 |
1 x3 x4 x5 |
|
|
1 2x 7x |
|
4x . |
||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
1 |
|
|
1 |
x 2x |
4 |
x |
|
|
|
|
|
3 |
|
4 |
5 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
При разных значениях x3,x4,x5 мы получим бесконечно много |
|||||||||||||||||||||||||||||||
решений системы. |
|
|
|
|
|
|
Д |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Замечание 1. При выборе другого базисного минора мы имели |
бы другие формулы, описывающие то же множество решений систе- |
|
мы из примера со с. 26. Например, если за базисный взять минор вто- |
|
рого порядка, стоящий в правом нижнем углу, основными перемен- |
|
ными будут x4 и x5, а свободными x1,x2,x3. |
|
|
И |
Замечание 2. Если в исследуемой системе число уравнений |
|
совпадает с числом неизвестных, det A 0, |
то r A n. В случае, ко- |
гда r A r A* , система несовместна. |
|
§8. Метод Гаусса
Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвест-
ных) – метод нахождения множества решений системы линейных уравнений –заключаетсявприведениирасширенной матрицы системы
27
a |
a |
a |
b |
|
|||||
|
|
11 |
|
12 |
|
1n |
1 |
|
|
a21 |
a22 |
a2n |
b2 |
||||||
A* |
|
|
|
|
|
||||
|
|
||||||||
|
|
a |
|
a |
|
b |
|||
a |
m1 |
m2 |
mn |
|
|||||
|
|
|
|
m |
|
с помощью элементарных преобразований, производимых только над строками этой матр цы, к трапециевидному
и |
a |
a |
|
b |
|
||||||||||
С |
a |
a |
|
||||||||||||
|
11 |
12 |
|
1m |
|
1n |
|
1 |
|
||||||
|
0 |
a |
a |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
~ |
|
22 |
|
2m |
|
a2n |
|
b2 |
|||||
|
|
|
|
|
A |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
бА |
|
b |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
a |
a |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mm |
|
mn |
|
m |
|
или бл зкому к нему в ду (см. прил. 5). |
|
|
|
|
~ |
||||||||||
С стема уравнен й, соответствующая матрице A, эквивалентна |
|||||||||||||||
исходной. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При выполнении прео разований над расширенной матрицей |
|||||||||||||||
системы A* разрешаются следующие элементарные преобразования: |
|||||||||||||||
– прибавлять к лю ой строке другую строку, умноженную на |
|||||||||||||||
любое число; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
– переставлять строкиA*; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
– умножать строки матрицы A* на любые числа, кроме нуля; |
|||||||||||||||
– вычеркивать одну из двух пропорциональных строк; |
|||||||||||||||
– вычеркивать нулевую строку. |
|
И |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
После выполнения элементарных преобразований получается |
|||||||||||||||
матрица одного из трех видов: |
Д |
||||||||||||||
а) |
0 |
|
|
|
система имеет единственное решение (совмест- |
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
на); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
0 |
|
|
система имеет множество решений (совместна); |
|
|
|||
|
|
|
28
0
в) 0= 1 система противоречива, решений не имеет (несовместна).
СПримеры:
Решить системы уравнений методом Гаусса:
1.
x y z 4;2x y 3z 8;
x y 3z 0;
|
|
|
|
|
бА |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x y z |
12. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Вып сываем расширенную матрицу и делаем элементарные |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
преобразован я только со строками: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
1 1 |
4 |
2 1 4 |
1 1 |
|
1 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
2 |
1 3 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
3 |
|
5 |
|
0 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
A |
1 |
1 |
|
3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
0 |
2 |
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
3 |
|
|
~ |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
1 1 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
3 |
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
1 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
~ |
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
2 3 ~ |
|
|
|
|
|
|
И |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
0 0 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
Д3 5 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
0 0 |
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Система приведена к трапециевидному виду. Последнее уравне-
ние:
0 5 противоречие система несовместна (решений нет). 2
29
2.
|
|
|
|
|
|
|
x 3y z 2; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2x y 2z 3; |
|
|
|
|
|
|
|
||||
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
3x 2y z 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Решение. Выписываем расширенную матрицу и делаем элементарные |
|||||||||||||||||||
преобразован я только со строками: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
и |
1 |
3 1 |
|
2 |
|
1 3 |
1 |
|
2 |
|||||||||
|
|
1 3 |
1 2 |
2 3 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
A 2 |
1 |
2 3 |
|
|
|
|
~ 0 |
7 4 |
|
1 |
1 ~ 0 |
7 |
4 |
|
1 . |
|||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 2 |
1 5 |
|
|
|
|
|
0 |
7 4 |
|
1 |
|
0 0 |
0 |
|
0 |
бА |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Нулевую строку от расываем, выписываем систему: |
|
||||||||||||||||||||||||
x 3y z 2; |
|
7y 1 4z y |
1 |
|
4 |
z. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
7y 4z 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 7 |
|
||||||||||
Подставляем в первое уравнение: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
z |
z 2; |
|
|
|
|
||||||||||||
|
7 |
7 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
x |
3 |
12 z z 2; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д11 5 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
z. |
И |
||||||||
Получили |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
7 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
11 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
7 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y |
7 |
|
7 |
|
|
z; |
z любое число. |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|||
|
|
|
Имеем множество решений. Например, |
z 0; |
x |
|
|
|
|
; y |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
7 |
|
7 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
или |
z 1; |
x |
|
|
|
; |
|
y |
|
|
|
и другие, |
|
которые получаются при различ- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 |
|
7 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ных z. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
го: |
Проверку сделаем для любого из наборов, например для перво- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
3 |
0 |
14 |
2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
С |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
7 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
1 |
0 |
21 |
|
3; |
верно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
7 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
бА |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33 |
|
|
2 |
0 |
35 |
|
|
5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
7 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
x |
|
7 |
|
|
|
7 |
z; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z лю ое число. Решений множество. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y |
|
1 |
|
|
4 |
z. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
7 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y z 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x y z 5; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y z 3. |
|
И |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Решение. Преобразуем расширенную матрицу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
1 1 |
|
1 |
3 1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
A 3 1 |
1 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ 0 |
4 2 |
|
2 |
|
|
|
|
~ 0 4 |
|
2 |
|
2 . |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
0 |
0 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31
Получили
x y z 1; |
z 1; |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 y z 1 1 1 1; |
|
4y 2z 2; 4y 2 1 2; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
y 1. |
|
|
|
|||||
z |
1; |
|
|
|
|
|||||
Проверка: |
|
|
|
|
1 1 1 1; |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
3 1 1 5; |
верно. |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
и |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 1 3. |
|
|||
Ответ: x 1; |
y 1; |
z 1. Решение единственное. |
||||||||
4. |
бА |
|||||||||
|
x 4x |
|
2x 1; |
|
|
|||||
|
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
n 4. |
|
|
2x1 3x2 x3 5x4 7; |
||||||||
|
|
3x 7x |
2 |
x 5x |
4 |
8. |
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
Решение. Преобразуем расширенную матрицу
|
|
1 |
4 |
2 |
0 1 |
1 |
4 |
2 |
0 1 |
|||
|
|
|
|
3 |
1 |
5 |
|
|
|
5 |
5 |
|
A* 2 |
7 ~ 0 5 |
5 ~ |
||||||||||
|
|
|
3 |
7 |
1 5 |
8 |
0 5 |
5 |
5 |
5 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
4 |
2 |
0 1 Д |
||||||||
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
решенийИмножество, 4 2 2 |
|||||
~ 0 |
1 . |
|||||||||||
|
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|||||
|
|
|
||||||||||
Отсюда rangA rangA* n 4, |
неизвестных могут быть выбраны произвольно. Исходная система эквивалентна треугольной:
x1 4x2 1 2x3;x2 1 x3 x4.
32
Если положить x3 1; |
x4 2 (1, 2 произвольные числа), то по- |
|||||
лучим |
|
|
|
|
|
|
С |
x2 1 1 2; x1 5 21 42. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
5. |
|
2x |
3x |
|
x 2; |
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
|
2 |
3 |
|
|
7x1 4x2 2x3 8; n 3. |
||||
|
|
3x 2x |
2 |
4x 5. |
||
|
|
1 |
|
3 |
Решен е. Здесь
|
|
1 2 |
|
|
3 2 |
|
1 |
2 3 2 |
||||
|
бАn 3. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
A* 2 7 |
|
|
8 ~ 0 |
11 10 12 . |
|||||||
|
|
4 3 |
|
|
2 |
5 |
|
0 |
0 0 1 |
|||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Отсюда заключаем: |
rangA 2; |
|
rangA* 3, следовательно, сис- |
|||||||||
тема неразрешима (несовместна). |
|
|
|
|
|
|||||||
6. |
x1 |
x2 x3 12; |
|
|
||||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Д |
|||||
|
2x |
3x |
2 |
x 13; |
|
|
||||||
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
3x2 4x3 |
5; |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
3x |
x |
2 |
4x |
3 |
20. |
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Преобразуем расширенную матрицу системы:
|
1 |
1 1 |
12 |
|
|
1 |
1 |
1 |
12 |
|
||||
|
|
|
3 |
1 |
13 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
A* |
2 |
|
~ |
0 |
3 11 |
~ |
||||||||
|
0 |
3 |
4 |
5 |
|
|
0 |
3 |
4 |
5 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
И |
|||||||
|
|
3 |
1 |
4 |
20 |
|
|
|
0 |
2 |
7 |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33