Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1263 вуза, 4625 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:
2277.pdf
Скачиваний:
10
Добавлен:
07.01.2021
Размер:
4.86 Mб
Скачать
☆
►Содержание►

С

 

 

 

 

Рис. 107

 

 

 

 

 

 

 

Посмотр те в део 9.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 45. Формула Тейлора

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть функц я f(x) имеет производные до (n + 1)-го порядка

включительно в некотором промежутке, и число x0

принадлежит это-

му промежутку. Формула

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x) = f (x0) +

f (x0)

(x – x0) +

f (x0)(x – x0) 2 +...+

f (n) (x0)

(x – x0) n +

 

 

 

 

 

1!

 

 

 

 

 

2!

 

 

 

 

 

n!

 

 

 

 

+ Rn(x)

бА

 

 

 

 

(14)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

называется формулой Тейлора для функции f(x) , а Rn(x) называется

остаточным членом (прил. 33).

Д

 

Рассмотрим многочлен

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pn(x) = Pn(x0) +

P

(x

0

)

(x – x0) +

P (x

0

)

(x – x0)2 + ... +

P (n) (x

 

)

(x – x0) n.

n

 

 

n

 

n

0

 

 

1!

 

 

2!

 

 

n!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

И

Если для некоторого x остаточный член Rn(x) достаточно мал, то формула Тейлора дает приближенное значение для функции f (x):

f (x) Pn(x),

218

при этом погрешность этого приближения равна остаточному члену

Rn(x).

Для оценки остаточного члена Rn(x) используются различные формулы, одна из них называется формой Лагранжа и имеет вид

 

 

Rn(x) =

 

 

f

(n 1)(с)

(x – x0)

n+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

(15)

 

 

 

 

(n 1)!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где c – некоторое ч сло, заключенное между x0 и x.

 

 

Ч сло c можно представить в виде

c = x0 + (x – x0), где

число

 

заключено между 0

1: 0 < < 1. Тогда формула остаточного чле-

С

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

на

в д

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rn(x) =

 

f (n 1)

(x

0

(x x

0

))

(x – x0) n+1.

(16)

 

 

 

 

 

 

(n 1)!

 

 

 

 

 

примет

 

 

 

 

 

 

 

 

Еще одна формула для Rn(x) называется формой Коши и имеет

вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rn(x) =

f (n 1) (x

0

(x x

0

))

(x – x0) n+1(1 – ) n,

(17)

 

 

 

 

n!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где удовлетворяетбАнеравенству 0 < < 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д

 

Отметим, что значения в формулах (16) и (17) различные. Заметим, что если в формуле Тейлора (14) положить n = 0 и ос-

таточный член записать в форме ЛагранжаИ(15), то получим f(x) = = f(x0) + f (c)(x – x0), откуда получаем формулу Лагранжа

f(x) – f(x0) = f (c)(x – x0).

Таким образом, формула Тейлора является обобщением формулы Лагранжа (конечных приращений).

Если в формуле Тейлора (14) положить x0 = 0, то получим фор-

мулу, называемую формулой Маклорена:

219

f(x) = f(0) +

 

 

f (0)

x +

 

f (0)

x2 + ... +

 

 

f (n)(0)

xn + Rn(x),

(18)

1!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!

 

 

 

 

 

 

где Rn(x) =

 

f (n 1)( x)

x

n+1

,

(0 <

< 1) – остаточный член в форме

 

(n 1)!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Лагранжа.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пр меры:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотр м

спользование формулы Тейлора. Найдем разложе-

ние

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

некоторых элементарных функций по формуле Тейлора, причем

возьмем x0 = 0 (т. е. вып шем формулы Маклорена для этих функций).

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С1. f(x) = e .

 

 

f (x) = ex;

f (x) = ex;

 

 

 

 

f (n)(x) = ex и f(0) = 1;

Решен е. Так как

 

 

...;

f (0) = 1, f (0) =1;

...;

f (n)(0) = 1, то по формуле Маклорена (18) по-

лучаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ex = 1 + x + x2

+ ... +

xn

 

+

 

xn 1

 

 

e x;

0 < < 1.

(19)

 

n!

(n 1)!

 

 

1!

2!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если |x| < 1, то при n = 8 получаем R8

<

1

3 <

 

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9!

 

105

 

 

Вычислим теперь приближенно значение числа e и оценим по-

грешность приближения.

 

 

 

 

 

Д

 

ИспользуембформулуА(19) при x = 1; n = 8, получаем

 

e

1 + 1 +

1

+

1

+

1

+

1

+

1

+

 

 

1 +

1

2,71828,

 

 

 

 

2!

 

3!

 

4!

 

 

5!

6!

 

 

 

 

И

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7!

 

8!

 

 

 

причем погрешность R8(1) не превосходит 0,00001.

 

 

2. f (x) = sin x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

Найдем

 

 

производные

 

 

 

до

 

 

(n + 1)-го порядка

для

функции f (x) = sinx и значения производных при x= 0:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(x) = sinx;

f(0) = 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x) = cos x = sin (x + /2);

 

 

f (0) = 1;

 

220

 

 

 

f (x) = –sin x = sin (x + 2 /2);

f (0) = 0;

 

 

 

f (x) = –cos x = sin(x + 3 /2);

f (0) = –1;

 

 

 

 

f (4)(x) = sin x = sin (x + 4 /2);

f (4)(0) = 0;

 

С

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

f

(n)(x) = sin(x + n / 2);

f (n)(0) = sin

 

.

 

 

если

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

Итак,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n = 2 m; m N,

то f (2m)(0) = 0;

 

 

 

 

 

 

 

бА

 

 

 

 

 

 

 

n = 2m + 1, то

f (2m+1)(0) = (–1)m,

 

 

 

 

 

 

поэтому, спользуя формулу Маклорена (18), получим

 

 

x

3

 

 

x5

 

 

 

m x2m 1

 

m+1

x

2m 3

 

sin x = x –

3!

+

5!

– ... + (–1)

 

 

 

 

 

+ (–1)

 

 

 

 

cos x.

(20)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2m 1)!

 

 

 

(2m 3)!

 

3. Для функции

 

f(x) = cos x можно аналогично получить сле-

дующую формулу Маклорена:

 

Д

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

x4

 

 

 

 

m x2m

 

m+1

x2m 2

 

сos x = 1 –

 

 

+

 

 

 

 

– ... + (–1)

 

 

 

 

+ (–1)

 

 

 

 

 

cos x .

(21)

 

 

2!

4!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2m)!

 

 

(2m 2)!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

И

Поскольку x R: |cos x| < 1, то получим оценки остаточных

членов в формулах (20) и (21):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R x

 

 

| x |2m 3

 

 

[по формуле (15)];

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

(2m 3)!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R x

 

 

| x|2m 2

 

 

[по формуле (17)].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

(2m 2)!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Вычислить приближенно sin 20o с точностью до 0,0001.

 

221

Решение. Используем формулы (8), (9) при x = 20o = и взяв 2 чле- 9

на разложения:

С

 

 

3 1

 

sin

 

 

 

 

 

–

 

 

 

 

 

 

= 0,3420;

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

9

9

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 1

 

 

 

 

 

 

 

 

|Rn| <

 

 

 

 

 

 

 

 

0,0001.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дифференц

9

5!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вопросы задания для самопроверки к разделу

«

альное

счисление функции одной действительной

 

переменной»

([1,2,3,7,8,9,10,11], прил. 28–33)

1.

Дайте определение производной.

 

2.

Поясн те геометрический, физический смысл производной.

3.

Какой физический смысл у второй производной?

4.

Напишите уравнение касательной.

5.

Какое уравнение имеет нормаль к кривой?

6.

Сформулируйте основные свойства производной.

7.

 

 

 

 

 

 

 

 

Д

Знаете ли вы производные элементарных функций?

8.

КакбАнаходится производная сложной функции?

9.

Приведите пример нахождения производной от функции, за-

данной неявно.

 

10.

Как найти производные от функций, заданных параметриче-

ски?

 

И

 

 

11.

Что такое логарифмическое дифференцирование?

12.

Что такое производные высших порядков?

13.

Дайте определение и свойства дифференциала функции.

14.

Какой геометрический смысл у дифференциала?

15.

Какие формулы приближенных вычислений с помощью

дифференциала вы знаете?

 

16.

Как находятся дифференциалы высших порядков?

17.

Поясните, как производят нахождение области определения

функции, проверки четности, нечетности, периодичности.

18.

Как находятся асимптоты функции: горизонтальные, верти-

кальные, наклонные?

 

222

19. В чем заключается исследование функции с помощью первой производной? Как находят промежутки монотонности, экстремумы?

20.

Что дает исследование функции с помощью второй произ-

водной?

Укажите схему нахождения промежутков выпуклости, во-

С

гнутости, точки перегиба.

21.

Как можно найти эктремумы функции с помощью второй

производной?

22.

Укаж те схему нахождения наименьшего и наибольшего

и

значен й функц на отрезке.

23.

формул руйте правило Лопиталя вычисления пределов.

24. Как выглядят формулы Тейлора и Маклорена?

25. Нап ш те формулы остаточного члена формулы Тейлора.

 

бА

 

Д

 

И

223

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности