38. Приведите к каноническому виду, назовите и постройте поверхность x2 4y2 8z2 6x 10y 4z 5 0.

39. Цилиндрические поверхности, их определение и свойства. 40. Приведите к каноническому виду, назовите и постройте по-

верхность x2 4y2 6x 10y 5 0.

Сских3.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ

Раздел 3. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ПЕРЕМЕННОЙ

§ 26. Математ ческие символы. Множества

ЗачаткиАбелемметодов математического анализа были у древнегречематемат ков (Архимед). Систематическое развитие эти методы получ ли в XVII в. в трудах Ньютона и Лейбница. В XVIII XIX вв. фактическ й матер ал ыл логически обобщен Эйлером, Коши, Ло-

бачевским, , Риманом и другими учеными. Дифференциальное исчисление раздел математического ана-

сформулировали основные положения математического анализа и указали на взаимообратный характер дифференцирования и интегрирования. Создание дифференциального исчисления (вместе с интегральным) открыло новую эпоху в развитии математики. С этим связаны такие дисциплины, как теория рядов, теория дифференциальных уравнений и многие другие. Методы математического анализа нашли применение во всех разделах математики. Очень распространилась область применения математики в естественных науках и технике.

Дифференциальное исчисление базируется на важнейших понятиях математики, определение и исследование которых и составляют предмет введения в математический анализ: действительные числа

118

(числовая прямая), функция, граница, непрерывность. Все эти понятия получили современную трактовку в ходе развития и обоснования дифференциального и интегрального исчислений.

нятия д фференц ального исчисления: производная и дифференциал. Оф ц альной датой рождения дифференциального исчисления можно сч тать май 1684 г., когда Лейбниц опубликовал первую статью «Новый метод максимумов и минимумов…». Эта статья в сжатой малодоступной форме излагала принципы нового метода, названно-

дав тем самымЛейбницаи одно из названий новому разделу математики. В ос-

написал первый уче н к, излагавший новый метод в применении к

теории плоских кривых. Он назвал его « нализ бесконечно малых»,

нову изложения положено понятие переменных величин, между которыми имеется некоторая связь, из-за которой изменение одной влечёт изменение другой.

А В математике употребляютсяДспециальные символы, позволяю-

щие сократить запись и точнее выразить утверждение:

, , , , , , , , , (прил. 21) .

Например, применяя символ «>» к числам a, b, получим запись «a > b», которая является сокращением для предложения «Число a больше числа b». Если l1, l2 – обозначения прямых, то запись l1 || l2 есть утверждение, что l1 параллельна l2 . Запись «x M» означает, что x является элементом множества M.

«–3 не больше 0» («неверно, что –3 больше 0»).

2.Конъюнкция применяется к двум высказываниям или предикатам, соответствует союзу «и», обозначается А & B (или A B).

119

Так, формула (–3 > 0) & (2 2 = 4) означает предложение «–3 > 0 и 2 2 = 4», которое, очевидно, ложно.

3.Дизъюнкция применяется к двум высказываниям или предикатам, соответствует союзу «или» (неразделительному) и обозначается

ству M2» изображается формулой x M1 x M2 .

4.Импл кац я соответствует союзу «если ..., то ...» и обозначается A B.

Так,зап сь«a > –1 a > 0»естьсокращениедляпредложения «Ес-

лиa>–1,тоa>0».

ся» и аналогичнобА. Квантор , примененный к предикату F(x,...), соответствует предложению «СуществуетДx, такой, что F(x,...)» («Найдется x, для которого F(x,...)») и обозначается x F(x,...).

ременную (напр мер, x) или несколько переменных, при этом получа-

Понятие множества является первоначальным понятием математики, точное определение множества не дается, но его можно пояснить, описать через другие понятия. Можно сказать, что множество – это совокупность, собрание каких-то объектовИ, предметов, при этом объект, входящий в это множество, называют его элементом. Множества могут содержать как конечное число элементов, так и бесконечно много элементов. Рассматривают и множество, не содержащее элементов,егоназываютпустым, обозначают символомØ.

В математическом анализе чаще всего рассматриваются числовые множества, за некоторыми из них закреплены специальные обозначения.

Множество всех натуральных чисел: N = {1,2,3,...}.

Множество всех целых чисел Z содержит натуральные числа,

ноль, целые отрицательные числа: Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}.

120

Множество рациональных чисел обозначается через Q. Рацио-

нальным называется число, которое можно представить в виде отно-

делению». Известно, что любое рациональное число можно представить десят чной дробью, конечной и бесконечной периодической. Например, рац ональное число 5/6 представимо бесконечной перио-

дробью 5/6 = 0,83333..., а число 3/8 = 0,375. В последнем случае можно сч тать десятичную дробь тоже бесконечной с числом 0 в пер оде: 3/8 = 0,3750000... . Известно, что всякую периодическую

x будет соответствовать определенная точка М, абсцисса которой равна x. Такая прямая называется числовой осью (рис. 61).

0 1 x

Рис. 61

121

Промежутком называется совокупность чисел, заключенных между аи b.

В зависимости от того, присоединены концы промежутка к нему или нет, различают

– интервалы:

Рис. 63

122

Точки x этого интервала удовлетворяют неравенствам

Способы задания функцииИ

Основными способами задания функции одной переменной являются:

Аналитический способ: связь между аргументом x и функцией y задается формулой, при этом на разных участках области определения она может задаваться различными формулами (см. пример 2) . В примерах 1, 2 функции заданы аналитически.

123

Табличный способ: функция задается таблицей отдельных значений аргумента и соответствующих значений функции. Например, таблицы тригонометрических функций, таблицы логарифмов и так далее.

Графический способ: в этом случае соответствие между значе-

Пусть даны две функции y x и z f y : X Y Z .

124

Сложной функцией z F x называется функция, имеющая об-

ластью определения X и областью значений Z, вычисляемая по прави-

лу z f x .

Примеры сложных функций:

Рис. 64

Пример

an n2 неограниченная последовательность.

125

an n б.м.

Последовательность an называется положительно бесконечно большой (п. б. б.), если для любого числа М > 0 существует номер N (M), такой, что при всех n N выполняется неравенство an M .

Обозначение: lim an (п. б. б.).

n

126

Пример

n2 п. б. б.

Последовательность an называется отрицательно бесконечно большой (о. б. б.), если для любого числа М< 0 существует номер N (M), такой, что при n N выполняется неравенство an M .

Обозначение: lim an (о. б. б.).

n

127