§18. Полярная система координат

мой полюсом,

лучом, исходящим из полюса, называе-

С

мым полярной осью. Задается также единица масштаба. Любая точка

М на

определяется двумя полярными координатами: по-

бА

лярным рад усом r полярным углом

(рис.17).

Y

M

r

y

X

O

Д

x

С

Полярные коорд наты r и точки M выражаются через ее

и

декартовы коорд наты x

y формулами

r x

2

y

2

;

бАsin =

tg

y

.

x

Из эт х формул можно получить соотношения для вычисления

угла ;

cos =

x

x2 + y2 ;

Д

y

x2 + y2 .

Пример

И

Архимедова спираль – плоская кривая, сформированная траек-

торией произвольной точки, которая

равномерно движется по лу-

левую спираль.

В природе форму спирали

рхимеда имеют большинство рако-

Даже

вин. Семена в корзине подсолнечника расположены по спирали. Спи-

раль можно увидеть,Анапример, в кактусах, ананасах. Ураган закручи-

вается спиралью. По спирали разбегается стадо оленей. войной спи-

ралью закручена молекула ДНК.

галактики сформированы по

принципу спирали.

И

1)

y kx b – уравнение прямой с угловым коэффициентом

(для прямых, не параллельных оси Oy);

2)

Ax By C 0 общее уравнение прямой;

и

С3) r

r

а

t векторное уравнение;

0

x x0

lt;

4)

бА

y y

0

mt.

k = tg .

Возможны следующие случаи положения прямых в зависимости

от k (рис. 19).

И

k 0

Дk 0

k 0

k

С

рис

Рис. 19 (окончание)

Вывод уравнения прямой

бА

и M1

x1, y1

Пусть звестны координаты двух точек

M0

x0, y0

на прямой (р с. 20). Из

. 20 очевидно, что k

y1 y0

.

x1 x0

y

y1

M1

y0

M0

Д

И

0

x0

x1

x

Рис. 20

Пусть теперь известен угловой коэффициент прямой k

и коор-

динаты точки M0 x0, y0

на прямой. Пусть M x,y произвольная

точка на прямой.

Тогда

Теперь обознач м b y0 kx0 , тогда получим

С

y kx b

это уравнен е прямой с угловым коэффициентом.

и

бА

Ч сло b называется сво одным членом.

Геометр чески ч сло b равно отрезку, отсекаемому прямой на

оси Oy(рис. 21).

y

b

Д

Рис. 21

И

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Пусть известны координаты точек

M0 x0, y0 и M1 x1, y1 , ле-

жащих на прямой. Так как k

y y0

и

k

y1 y0

, то, приравнивая

x x0

x1 x0

y

2

1

С

O

1 2

x

Рис. 22

Используем тр гонометрическую формулу

бА

tg tg

tg

2 tg 1

.

и2

1

1 tg 1tg 2

Так как, по определению углового коэффициента, tg =k, то

tg

k2 k1

,

.

1

2

1 k k

2

1

Д

Это формула для нахождении угла между прямыми.

Наличие модуля в формуле позволяет находить сразу острый

угол между прямыми.

Следствием этой формулы являются условия параллельности и

перпендикулярности прямых.

И

Условие параллельности прямых

1 || 2 k1 k2 .

Действительно,

если 1 || 2 ,

то 1 2 0; tg = 0. То есть

0

k1 k2 .

tg 1, 2

k2 k1

1 k k

2

1

Действительно, если

= 900 , tg900 не суще-

1

2

, то =

2

1

ствует. То есть tg

k2 k1

не существует

знаменатель

,

1

2

1 k k

2

1

дроби не определен

k1k2

= – 1.

причем

С2) О щее уравнение прямой

Всякое уравнен е первой степени вида

Ax By C 0 (где

общим

A,B,C – постоянные,

A2

B2 0) определяет на плоскости

прямую. Это уравнен е называется

уравнением прямой.

Частные случаи:

А

1. Прямая, определяемая уравнением Ax By 0 (С = 0, урав-

нение можно прео разовать к виду y kx),

проходит через начало

координат.

2. Прямая, определяемая уравнением y b (

= 0), параллельна

оси Ох. Прямая, определяемая уравнением y 0, это ось Ох.

x

Дy

3. Прямая, определяемая уравнением

x a (В

= 0), параллельна

оси Оу. Прямая вида x 0

это ось Оу.

4. Если A 0;

B 0; C 0, то уравнение можно преобразовать

к виду уравнения прямой «в отрезках»:

И

1.

a

b

b

Рис. 4

С

a

0

x

Рис. 23

Расстояние от точки до прямой

рисd

0

2

0

2 .

и точку M0

x0

, y0

Рассмотр м прямую

Ax

By

C

0

( . 24). Расстоян е от точки до прямой находят по формуле

бА

Ax By

C

A B

d

M0 x0,y0

Д

Ax+By+C=0

Пусть на прямой даны две точки: M0 x0, y0 и M x,y . Тогда

векторы r0 = OM0

и r =OM называютсяИрадиусами-векторами точек

Определим теперь угловой коэффициент k

прямой. По усло-

вию, прямая параллельна прямой y 2x 4, поэтому, используя кри-

терий параллельности прямых,

находим,

что k 2.

Подставляем в

уравнен е: y 1 2x 4 2x 4 y 1 0 2x y 5= 0 – нашли

уравнен е прямой, параллельной данной.

Если

скомая прямая перпендикулярна данной,

то, из критерия

Спрямых

1

2

k

k

2

1,

находим

k

1

.

1

2

1

Подстав м найденное значение k

в уравнение

y 1 k x 2 ,

1

2

ортогональности

– это

получ м

y

1

2

x 2 x 2 2y 2 0 x 2y 0

уравнен е прямой, перпендикулярной прямой y 2x 4.

Определим далее угловой коэффициент прямой, проходящей

под

углом

45

к

данной

прямой

y 2x 4,

по

формуле

k2 k1

.

Подставляя

в

эту

формулу

= 45 ,

получим

tg

1 k1k

2

бА

2 k1

1

(так как угловой коэффициент данной прямой k 2).

1 2k1

k 1

Имеем

1 2k

2 k

или

k

3.

Тогда

1

1

1

3

1

y 3x 5 0 и

3y x 5 0

–

Д

уравнения прямых, проходящих под

углом 45

к данной.

проходящей через точки A1 5, 1 и

2. Найти уравнение прямой,

точки

y y0

x x0

:

y1 y0

x1 x0

2 5

5 1

3

6

2 x y 9 0.

3. Найти угол между прямыми y 3x и y 2x 5.

С

Решение. Для вычисления угла между прямыми используем формулу

tg

k2 k1

. Так как k

3;

k

2

2, то tg

3 2

5

1. От-

1 k1k2

1

1 6

5

сторонууравненияАС;

сюда

arctg

1

1

45 .

4

4. Заданы верш ны

треугольника

АВС:

A(3,1), B(1,7),С(6,3).

Требуется:

б

АВС;

1) состав

ть

всех сторон треугольника

2) состав ть уравнение высоты, опущенной из вершины В на

3) состав ть уравнение медианы, проведенной из вершины С;

А

4) найти расстоян е от вершины

С до стороны АВ;

5) найти угол между сторонами

С и В;

6) вычислить периметр треугольника

ВС.

Решение. Построим в декартовой системе координат треугольник

АВС с заданными координатами вершин (рис. 26).

y

B

Д

И

M

H

C

A

o

x

Рис. 26

1) Для нахождения уравнения сторон треугольника воспользуем-

ся уравнением прямой, проходящей через две точки

x x1

y y1

.

x2 x1

y2 y1

Уравнение

прямой

АВ:

x 3

y 1

,

или

x 3

y 1

,

или

6x 2y 20 0.

1 3

7 1

2

6

x 3

y 1

x 3

y 1

Уравнение

прямой

АС:

,

или

,

или

С

6 3

3 1

3

2

3y 2x 3 0.

x 1

y 7

x 1

y 7

Уравнен е прямой ВС:

,

или

, или

4x 5y 39 0.

6 1

3 7

5

4

сти

2) Пусть АН

– высота, опущенная из вершины А на сторону ВС.

Найдем ее уравнен е в виде y y0

k x x0 . Так как высота опуще-

на из точки А,

то x0

xA 3; y0

yA

1. Воспользуемся теперь урав-

бА

нением стороны

ВС

: 4x

5y 39 0 и условием перпендикулярно-

прямых

1

2

k k

2

1. Найдем, что

x 1

y 7

– уравне-

1

4

5

ние высоты АН.