x 2y z 5;

Решить систему

3x y 2z 0;

С

x 2y 2z 1.

Решен е. Наход м определитель матрицы системы

матричным

1

2

1

3

1

2

1 0.

1

2

2

столбецx 5 2 2

3

5

7

Знач , обратная матрица существует, систему можно решить

методом. Теперь находим обратную матрицу A 1 и вы-

числяем

не звестных X по формуле X A 1B.

А

y A 1 0 4 3

5 0 15 ,

z

1

5

4

7

1

18

Д

т.е. x 7; y 15;

z 18.

§6. Ранг матрицы

В прямоугольной матрице выделим k

произвольных строк и k

произвольных столбцов k m;k n .

a11

a12

a1n

a

a

a

21

22

И

2n

A

.

a

a

a

m1

m2

mn

ментов из m, Cmk

m!

k! m k !.

от нуля, а всяк й минор порядка r 1, включающий все эле-

личный

менты м нора M (окаймляющий минор), равен нулю, тогда ранг мат-

рицы A равен r.

Эта теорема дает

нахождения минора ранга матрицы A.

способ

1

2

1

2

4

2

С

A

3

5

1

.

2

1

8

4

7

2

и

Решен е. 1-й способ.

Выделяем в матр це A минор второго порядка,

отличный от

нуля:

бА

M1

2

4

10 12 2 0.

5

3

Выч сляем окаймляющие его миноры третьего порядка:

M2

1

2

1

0; M3

2

4

2

2

4

2

3

5

1

0;

3

5

1

2

1

8

2

Д

4

2

M4

3

5

1

0.

4

7

2

И

Все окаймляющие миноры равны нулю, значит, ранг матрицы A

равен 2.

2-й способ (линейные преобразования).

1

2

1

1

0

0

1

0 0

1

0 0

4

2

2 2 0

0 1

0 0 3

1 0

3

5

1

~

3

1

2

~

3 1 0

~

2

5 0

~

4

7

2

4

1

2

2

5 0

4

1 0

1

0

0

1 0

0

1 0 0

1

0

1

0

~

0

~

0 1 0

~

0 1 0

~

.

0 5

0

0

0 5

0

0 0 0

1

0

1

0

С

Ранг

A

равен 2: rang A 2.

Часто эти два способа комбинируют. Элементарными преобра-

зованиями матр цу

A можно привести к такому виду, из которого

находится

ранг матр цы легко

:

1

2

1

1

0

0

1

0

2

4

2

0

2

2

0

0

бА

2 .

3

5

1

~

3

1 2 ~

3

2 1

8

2

5 10

2

10

4

7

4

1

4

2

2

2

крайней мере один из столбцов – линейная комбинация остальных

столбцов, а также одна из строк – линейная комбинация остальных

строк.

Д

Теорема

о ранге матрицы. Ранг матрицы A равен макси-

С

Поскольку каждый минор матрицы A является минором расши-

ренной матрицы A*, но не наоборот, то

r A* r A .

Кр тер й совместности системы линейных уравнений (тео-

рема Кронекера–

): для совместности системы линейных

уравнен й необход мо

достаточно, чтобы ранг матрицы системы

был равен рангу расш ренной матрицы системы: r A r A*.

зависимы, а остальные m r

строки линейно выражаются через них.

Д

Т.е. первые r уравнений системы линейно независимы, а остальные

m r уравненийбАявляются их следствиями. остаточно решить лишь

первые r независимых уравнений, т.к. остальные уравнения будут

этим решениям удовлетворять.

Возможны два случая:

1. r A r A* r n (ранг равен числу неизвестных).

Систему из первых r

уравнений можно решить по формулам

Крамера. Система m линейных уравнений с n неизвестными совме-

стна, определена, имеет единственное решение.

x 2y z 2;

И

x y 3z 1;

n 3.

x 2y z 0;

x y z 3.

1

2

1

1

1

3

A

1

2

1

.

1

1

1

Расш ренная матрица системы имеет вид

и

2

1

2 1

2

1

2

1

С

1 3

1

A*

1

1

1

3 1

2

1

0

~

1

2

1 0

.

1

бА

1

1 1

3

0

0

0 0

То есть четвертое уравнение системы – линейная комбинация

первых трех. М нор третьего порядка,

расположенный в верхнем ле-

вом углу матрицы, отличен от нуля:

1

2

1

6, r A* 3.

1

1

3

1

2

1

Д

Этот определитель состоит из строк матрицы A, r A 3.

Получили

r A r A* 3 n.

Система

имеет

единственное

И

решение, это решение находится по формулам Крамера из системы

(четвертым уравнением можно пренебречь):

x 2y z 2;

x 3;

y 1;

x y 3z 1;

x 2y z 0.

z 1.

a11x1 a12x2 a12xr b1 a1r 1xr 1 a1nxn;

С

(3)

a x a

r2

x

a

x

b a

rr 1

x

r 1

a

x

.

r1 1

2

rr r

r

rn n

системы

получим формулы,

Решая с стему (3) по формулам Крамера,

выражающ е основные переменные x1,x2, ,xr

через свободные пе-

ременные xr 1,xr 2, ,xn.

Придавая свободным переменным произ-

вольные значен я, получаем

есконечное множество всех решений

.

бА

Пр мер

Реш ть с стему

3x1 2x2 x3 x4 x5 1;

x x

2

x 2x

4

x 0;

1

3

5

x 2x

2

3x 9x

4

5x 1;

1

3

5

4x 3x

Д

1

2

3

4

Решение. Находим ранги матрицы системы и расширенной матрицы

системы:

И

3

2

1

1

1

1

1

2

A

1

1

r A 2.

1

2

3

9

5

4

3

2

1

0