§2. Определители

Понятие «определитель» или «детерминант» вводится только

для квадратных матриц. Определитель

матрицы

A обозначается

det A,

A

:

С

a11

a1n

det A

.

прил

an1 ann

Определ тель квадратной матрицы – это число, которое может

быть выч слено по её элементам

в соответствии

с определением

(

. 3).

бА

Определен е

1. Определ телем матрицы первого порядка называется единст-

венный элемент этой матрицы.

Если A 3 , тогда

A

3; если A 5 , тогда

A

5.

a11

a1n

2. Определителем матрицы A

порядка n 1 на-

Д

an1

ann

n

k i

aikMik (прил. 3).

зывается число det A 1

k 1

Здесь i произвольное целое число от 1 до n;

Mik

определитель порядка n 1 , полученный из матрицы A

вычёркиванием i-й строки и k-го столбца.

И

Mik

называется минором порядка n 1 матрицы A, соответст-

вующим элементу aik .

Алгебраическим дополнением элемента aik

называется число

A 1 i k

M

i k

.

ik

С

Применим определение определителя к матрице второго поряд-

ка, получим формулу

строки

a11

a12

a a

a a .

11

22

12

21

a21

a22

Определ тель третьего порядка вычислим, разложив по элемен-

там первой

:

бА

a11

a12

a13

a22

a23

a21

a23

a21

a22

a

a

a

a

a

a

.

21

22

23

11

a

a

12

a

a

13

a

a

a31 a32 a33

32

33

31

33

31

32

Пример

Д

2

1

3

1

0

1 0

1

1

1

1 0

2

1

3

3

1

2

1

2

3

2

3

1

Первые три слагаемых получим, перемножив выделенные эле-

менты матрицы:

И

a11

a12

a13

a

a

a

a

a

a

a21

a22

a23

11

12

13

11

12

13

1)

; 2)

a

a

a

; 3)

a

a

a

.

a31

a32

a33

21

22

23

21

22

23

a

a

a

a

a

a

31

32

33

31

32

33

a11

a12

a13

a11

a12

a13

a11

a12

a13

4)

a21

a22

a23

; 5)

a21

a22

a23

; 6)

a21

a22

a23

.

a31

a32

a33

a31

a32

a33

a31

a32

a33

Пр мер

и

2

1

3

С1 1 0 2 1 1 1 0 2 1 3 3 2 1 3 3 0 2 1 1 1

2

3

1

любой

2 0 9 6 0 1 4.

Свойства определителей

1. Для

матрицы A порядка n

det A

n 1 k j a

M

Аk j k j

5.

Если в матрице A столбцы (строки)

линейно зависимы,

то

det A 0.

6. Определитель матрицы не изменится, если к какой-либо его

строке прибавить линейную комбинацию остальных строк. То же

верно и для столбцов.

С

BA det

AdetB.

7.

det AB det

§3. Обратная матрица

Матр ца

X , удовлетворяющая вместе с заданной матрицей

A

равенствам XA AX E, где E единичная матрица порядка n,

на-

зывается обратной к матрице A и обозначается A 1 (прил. 4). Так как

A

A 1 перестановочны, то о е они должны быть квадратными по-

обратная1

рядка n.

Из свойств определителя получаем, что если существует матри-

и1

AA

1

E

;

A

A

1

1, поэтому det A 0

ца

A ,

к A, то

(говорят, что A

А

– невырожденная), причем

A

1

.

A

Каждая квадратная матрица с отличным от нуля определителем

имеет обратную матрицу и притом только одну.

Схема отыскания обратной матрицы A 1:

1. Вычислить определительДматрицы A. (Если det A 0, то A 1

не существует.)

~

~

~

– алгебраические допол-

2. Составить матрицу A Ai j , где Ai j

нения элементов ai j

матрицы A.

И

~

3. Транспонировать A.

1

4. Умножить последнюю на

.

1

~ T

det A

1

Итак, A

A .

3

4

5

3

1

A 2

.

3

5

1

Решен е.

начала выч слим определитель A:

ческие

i j

С3 4 5

1 0, значит, A

1

существует.

det

A

2

3

1

3

5

1

бА

Сч таем алге ра

дополнения

~

:

A

~

1 1

3 1

8;

~

1 2

2 1

5;

A11

1

5

1

A12

1

3

1

~

1 3

2

3

1;

~

2 1

4 5

29;

A13

1

3

5

A21

1

5

1

~

1

2 2

3 5

18;

~

2 3

3

4

A22

A

1

3;

3

1

23

3

5

~

3 1

4

5

3

5

11;

Д~ 3 2

7;

A31

1

3

1

A32

1

2

1

~

3 3

3

4

И

A33

1

2

3

1.

~

8

5

1

Итак,

18

3

A 29

– матрица алгебраических дополне-

11

7

1

~

~T

8

29

11

Транспонируем

18

7

A

:A

5

.

1

3

1

С

Получаем обратную матрицу

1

~ T

8

29

11

8

29 11

1

1

A

det A

A

1

5

18

7 5

18 7 .

проверки

3

1

1

3

1

1

Для

правильности нахождения

A 1

нужно перемно-

жить A

бА

A 1

лю ом порядке. Должна получиться единичная мат-

рица.

Проверка:

8 29

11 3

4

5

1

0 0

3

A 1A 5 18

7 2

1 0

1 0 .

1 3

1

5

0 1

3

1

0

Итак,

A 1 найдена верно.

Д