С

x x x0 x 2;

y y y0 y 2.

уравнение кривой будет иметь кано-

В системе координат 0xy

ническ й в д

x 2

y 2

1 (рис. 36).

и

5

20

y

y

бА

x

2

-2

-1 0

x

Д

Рис. 36

этой плоскости (рис. 37). Пусть

известны координаты нормали:

A,B,C .

n

Уравнением поверхности в пространстве Oxyz называется урав-

нение, связывающее переменные

x,y, z, которомуИудовлетворяют

С

, y2,z2 и M3 x3, y3

,z3 ,

M1 x1,y1,z1 , M2 x2

x x1

y y1

z z1

x2 x1

y2 y1

z2 z1

0.

ние

y3 y1

z3 z1

x3 x1

Для вывода этого вида уравнения плоскости рассмотрим произ-

вольную точку M x, y,z плоскости. Векторы

,

и

M1M

M1M2

M1M3

бА

лежат в плоскости, то есть компланарны, и их смешанное произведе-

равно нулю (р с. 39).

M3

M1

M2

M

Д

Рис. 39

4. Уравнение плоскости в отрезках

И

x y

z

+

+

=1,

a

b

c

где a,b,c величины отрезков,

отсекаемых плоскостью на коорди-

Z

С

Y

X

Если

Рис. 41

плоскость проходит через ось

Ox.

Если A D 0

By Cz 0

2.

B 0 Ax Cz D 0 плоскость || оси Oy (рис. 42).

бА

Z

Y

X

Рис. 42

Если B D 0

Д

Oy.

3. Если

C 0

Ax By D 0

плоскость || оси Oz

(рис. 43).

И

Z

Y

X

Рис. 43

Oz.

Если C D 0

Ax By 0

плоскость проходит через ось

4. Если D 0 Ax By Cz 0 плоскость проходит через

начало координат (рис. 44).

Z

С

Y

X

Рис. 44

5. Если A B 0

Cz D 0

плоскость || осям Ox и Oy

рис

( . 45).

Z

бА

Y

X

Рис. 45

Уравнение z = 0 уравнение плоскости Oxy.

6. Если A C 0

By D 0 плоскость || осям Ox и Oz

(рис. 46).

Д

Z

Y

X

Z

И

Рис. 46

Уравнение y = 0 уравнение плоскости Oxz.

7. Если B C 0

Ax D 0

плоскость || осям Oy и Oz

(рис. 47).

Пусть плоскости 1 и 2 заданы общими уравнениями

С

A1x + B1y +C1z + D1 = 0;

( 1)

A2x + B2 y +C2z + D2 = 0.

( 2)

нормалиn A ,B ,C

Вза мное положение плоскостей зависит от положения их нор-

малей:

1) 1// 2

плоскостей параллельны, то есть

//

A1

=

B1

= C1 (рис. 48).

n

n

1

2

бА2

A2

B2

C2

1

1

1

1

1

n

2 A2,B2,C2

С

n

2

n

1

2

и

1

Рис. 32

Рис. 50

бА

Угол между двумя плоскостями вычисляется по формуле

cos

n1

n2

A1 A2 B1

B2 С1С2

.

n1 n2

A2

B2 С2

A2

B2

С2

1

1

1

2

2

2

4) Расстояние от точки M x1, y2,z1 до плоскости Ax By Cz

D 0 находят по формуле

Д

d

Ax1 By1

Cz1 D

A2 B2 C2

.

И

A x x0 B y y0 C z z0 0.

Имеем

2 x 2 1 y 5 5 z 3 0 2x y 5z 4 5 15 0

Найти

2x y

5z 16 0.

С3. уравнение плоскости, проходящей через точки

M1 1,5, 7 , M2 3,6,3 и M3 2,7,3 .

бА

Решен е. Используем уравнение плоскости, проходящей через три

точки. Подстав м координаты данных точек:

x 1

y 5

z 7

x 1

y 5

z 7

0.

3 1

6 5

3 7

0

4

1

10

2 1

7 5

3 7

3

2

10

Раскладываем определитель по элементам первой строки, полу-

чаем

Д

2 x 1 2 y 5 z 7 0 2x 2y z 15 0.

4. Найти расстояние от точки M0 2; 3;1 до плоскости, прохо-

дящей через три точки M1 1;1; 1 , M2 3;2; 4 ,

M3 2;1;0 .

И

Решение. Составим уравнение плоскости, проходящей через три точ-

ки M1, M2, M3:

x 1

y 1

z 1

3 1

2 1

4 1

0

2 1

1 1

0 1

или

x 1

y 1

z 1

2

1

5

0.

1

0

1

x 1

1

5

y 1

2

5

z 1

2

1

0;

0

1

1

1

1

0

С

1 x 1

3 y 1 1 z 1 0;

x 1 3y 3 z 1 0;

уравнение

проходящей через точки M1,

x 3y z 5 0

плоскости,

M2, M3.

Теперь

спользуем формулу расстояния от точки до плоскости:

б

А

13

13 11

d

2 3 3 1 5

2 9 6

13

.

12 32 1 2

11

11

11

11

Итак,

13

11

расстояние от M0 до плоскости.

11

5. Найти

угол

между

плоскостями

x y 3z 4 0 и

n n

И

2

2 1 1 Д1 3 1 2 2

cos

1

.

n1

n2

12 1 2 32

22 12 1 2

11 6

66

2

2

Получили

cos

; arccos

.

66

66