1. d (u + v) = du + dv.

2. d (u v) = u dv + v du.

вида

3. d

u

=

du

(v

0).

Сv

v2

4. Инвар антность

дифференциала.

образом

функции y = f(x), где

Рассмотр м

д фференциал

сложной

x = (t), т. е. y = f ( (t)).

Тогда dy =

yt dt, но

так как

yt

= yxxt ,

поэтому dy = yxxt dt.

Учитывая, что

xtdt = d x,

получаем

dy = yx d x = f (x) d x.

Таким

, дифференциал сложной функции y = f (x), где

x = (t), имеет вид dy = f

(x) dx,

такой же, как в том случае, когда x

является независимой переменной. Это свойство называется инвари-

антностью формы дифференциала.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ

Посмотрите видеоА8.

4.3. ПРОИЗВОДНЫЕ И

ВЫСШ Х

ПОРЯДКОВ. ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ

И

§ 40. Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть функция f (x) определена и дифференцируема на некото-

ром промежутке X, тогда ее производная

f (x) также является функ-

цией от x на этом промежутке. Если

f

(x)

имеет производную на

a =

lim

, т.е. a = V'(t) = (S(t))' = S''(t).

t 0

t

ледовательно, ускорение при прямолинейном движении равно

второй про зводной от пути по времени:

a = S'' (t).

бА

Перейдем к

дифференциалов высших порядков.

Пусть y = f (x);

x X. Дифференциал этой функции y = f '(x) dx

является функц ей от x; dx – приращение аргумента x не зависит от x.

Д фференц ал от дифференциала функции называется диффе-

ренциалом второго порядка и о означается d 2y или d 2f(x).

Итак,

но

Д

dy= f (x)dx,

И

поэтому

2

f

2

d y = d ( f

(x)dx) = ( f (x)dx)dx =

(x)(dx) .

(n)

dn y

f

(x) =

.

dxn

Примеры:

С

1. Найти d 3y для функции y = cos2x.

Решен е. d 3y = y''' dx 3. Вычислим

y''', находя последовательно y',

y'', y''':

и

бА

y''' = 4sin2x.

верное при малых значениях x . Откуда

f (x

0

0

Преобразуем сначала исходное выражение

5

5

1

1

31

32 1

32(1

) 2 1

И.

5

5

32

32

f (x) 5

; x0

1; x

1

. Производная равна

Положим

x

32

f (x)

1

; f (1)

1.

x4

55

Окончательно имеем 5

2(1 1 (

1

))

31

1

15

.

31

32

16

16

3. Найти вторую производную функции y

x

.

x2 1

Решен е. начала находим первую производную:

и

x

x2 1 2x2

1 x2

.

Сy

(x2 1)2

x2

1

(x2 1)

2

1 x2

2x(x2 1)2 4x(1 x2)(x2 1)

y

2

2

2

4

(x

1)

(x

1)

2x(x2

1) 4x(1 x2)

2x3 2x 4x 4x3

2x3

2x

.

2

2

3

2

3

бАx a(t sint);

4. Для параметрически заданной функции

най-

y a(1 cost)

тивторую производную y .

И

Имеем

yt

= a sin t;

xt

= a (1 – cost);

yx

yt

asint

sint

=

=

.