Подставляем эти выражения в уравнение плоскости:
|
2t 1 2 4t 1 t 3 1 0; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
2t 1 8t 2 t 3 1 0; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
5t 1 0; |
|
t |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|||||
Подставляем |
t |
в систему |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
С |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
; |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
бА |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
y |
4 |
|
|
|
|
1 |
|
; |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
и |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
z |
|
|
|
3 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
1 |
|
14 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Итак, нашли координаты точки пересечения |
5 |
; |
5 |
; |
. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
||
§25. Поверхности второго порядка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
Д |
|||||||||||||||||||||
Вспомним, что плоскость задается в пространстве уравнением |
|||||||||||||||||||||||||
первой степени Ax By Cz D 0, поэтому плоскость называется по- |
|||||||||||||||||||||||||
верхностью первого порядка.
чек пространства, координаты которых удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени
Поверхностью второго порядка называется множество всех то- И
ax2 bxy cy2 d xz ez2 f yz Ax By Cz D 0,
где все коэффициенты – действительные числа, причем a, b, c, d, e, f не равны нулю одновременно (прил. 20).
Прямая пересекает поверхность второго порядка в двух точках, которые могут быть действительными, совпадающими или мнимыми.
Поверхность второго порядка пересекается плоскостью по кривой второго порядка, которая может распадаться на две прямые (пересекающиеся, параллельные или совпавшие).
113
Существует семнадцать видов поверхностей второго порядка. Идея классификации поверхностей основана на приведении их уравнений к каноническому виду в результате преобразования системы координат в каноническую.
Представим канонические уравнения и схематичные изображе- Сния следующих поверхностей 2-го порядка (рис. 57).
и бА Д И
Рис. 57
114
Рассмотрим конус. Конус второго порядка (рис. 58) в канонической системе координат имеет вид
С |
|
x |
2 |
|
|
y2 |
|
|
z2 |
0. |
|
||
|
a2 |
b2 |
|
c2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
бА |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 58 |
|
|
|
|||
|
Эта поверхность второго порядка состоит из прямых, пересе- |
||||||||||||
кающихся в одной точке – вершине конуса. Действительно, если точ- |
|||||||||||||
ка с координатами (x0, y0, z0) |
удовлетворяет уравнению конуса, то |
||||||||||||
ему |
удовлетворяют |
также точки |
|
с |
координатами x =x0 t; |
y =y0 t; |
|||||||
z=z0 |
t при любом значении параметра t. Записанные уравнения явля- |
||||||||||||
ются параметрическими уравнениями прямой, проходящей через на- |
|||||||||||||
чало координат и точку (x0, y0, z0). |
|
Конус состоит из таких прямых, |
|||||||||||
называемых образующими конуса. Ось аппликат канонической сис- |
|||||||||||||
темы координат является осью конуса. |
|
|
|
||||||||||
|
Оказывается, плоскость, проходящаяДчерез вершину конуса, ли- |
||||||||||||
бо не пересекает его в другой точке, либо пересекает по двум обра- |
|||||||||||||
зующим, либо касается вдоль образующей. |
|
||||||||||||
|
Любая плоскость, параллельная этим плоскостям, в первом слу- |
||||||||||||
чае пересекает конус по эллипсу, во втором случае пересекает по ги- |
|||||||||||||
перболе, в третьем случае – по параболе. ПоэтомуИэллипс, гиперболу, |
|||||||||||||
параболу часто называют коническими сечениями. |
|
||||||||||||
|
Цилиндрическая поверхность – это поверхность, образуемая |
||||||||||||
движением прямой |
l (в |
|
|
каждом |
|
своём положении |
называ- |
||||||
мой образующей) вдоль некоторой |
|
кривой-направляющей так, что |
|||||||||||
прямая постоянно остаётся параллельной своему начальному положению (рис. 59).
115
С |
|
|
|
|
цилиндр |
Рис. 59 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Напр мер, пара олический цилиндр :x2 2pz |
(рис. 60). Это |
|||
|
бА |
|
||
|
ческая поверхность. |
|
|
|
|
|
Д |
||
|
|
Рис. 60 |
|
|
Посмотрите видео 4. |
|
|
|
|
Темы и задания для самопроверки по разделу «Аналитическая |
||||
|
геометрия» ([1,2,3.6,8,9], прил. 12 20) |
|
||
1. |
Общее уравнение прямой на плоскости. |
|
||
2. |
Уравнение прямой в отрезках. |
И |
||
3. |
Уравнение прямой с угловым коэффициентом. |
|
||
4. |
Вычисление углового коэффициента прямой. |
|
||
5. |
Условие параллельности прямых на плоскости. |
|
||
116
6.Написать уравнение прямой, проходящей через точку B(4; 2), параллельно прямой 4x 3y 15 0.
7.Условие перпендикулярности прямых на плоскости.
8. Написать уравнение прямой, проходящей через точку B(4; 2),
перпендикулярно прямой 4x 3y 15 0. |
||
С |
|
|
9. Определение эллипса. |
||
10. |
Основное геометрическое свойство эллипса. |
|
11. |
Определен е г перболы. |
|
12. |
Основное геометрическое свойство гиперболы. |
|
уравнение18. Выч слен угла между плоскостями. |
||
13. |
Определен е параболы. |
|
14. |
Основное геометрическое свойство параболы. |
|
15. |
Общее |
плоскости. Координаты нормали. |
16. |
Уравнен е плоскости, проходящей через точку А перпенди- |
|
|
Общие |
|
кулярно данному вектору. |
|
|
17. |
Уравнен е плоскости, проходящей через три данные точки. |
|
19. |
Услов е параллельности плоскостей. |
|
20. |
Услов е перпендикулярности плоскостей. |
|
21. |
уравнения прямой в пространстве. |
|
22. |
Канонические уравнения прямой в пространстве. |
|
23.Параметрические уравнения прямой в пространстве.
24.Уравнение прямой через две данные точки.
25.Определение угла между прямыми в пространстве.
26.Условие параллельности прямых в пространстве.
27.Условия перпендикулярности прямых в пространстве.
28.Определение угла между прямой и плоскостью.
29.Вычисление угла между прямой и плоскостью.
30.Условие перпендикулярности прямой и плоскости.
31.Поверхности второго порядка.
32.Как выглядят уравнения второго порядка со смещенным центром?
33.Метод сечений изучения поверхностей.
34.Канонический вид поверхностей второго порядка.
35.Почему эллипс, гипербола, парабола называются коническими сечениями?
36.Укажите основные свойства поверхностей второго порядка.
37.Приведите к каноническому виду, назовите и постройте поверхность x2 4y2 8z2 6x 10y 4z 0.АИ
117