1

1 1

12

1

1

1 12

2 7

2

0

16

0

7 16

~

0 0 29

58

~

0

0 1 2

.

0 0 29

58

0

0 0 0

С

т.е.

система уравнений раз-

Заключаем: rangA rangA* 3 n,

решима, решен е ед нственно.

Треугольная с стема имеет вид

x1

x2

x3

12;

16;

2x2 7x3

бА

x

2.

3

иОтсюда x 9; x 1; x

3

2.

1

2

Посмотр те в део 1.

§9. Однородные системы

Рассмотрим однородную систему b1

b2 b3

bn 0 ли-

нейных уравнений:

Д

a11x1 a12x2 a1nxn 0;

И

a

x a

x

a

x

m1

m2

2

mn

n

0.

1

Такая система всегда совместна, т.к. всегда имеет нулевое (три-

виальное) решение:

x1 x2 x3

xn

0. Чтобы однородная сис-

2x y 2z 0;

x 2y z 0;

n 3.

x y z 0.

Решение. Находим ранг матрицы системы:

С

2

1

2

A 1

2 1 ; r A 2 n.

1

1

1

стема меет ненулевые решения.

двух.

и

2.

Реш ть с стему

2x y 2z 0;

x 2y z 0.

Решение. Преобразуем систему к виду

2x y 2z;

x 2y z.

бА

ная переменная, константа). Получаем решение: x z; y 0.

В случае m n однороднаяДсистема имеет единственное нулевое

решение при условии det A 0. Если det A 0, то система имеет бес-

численное множество ненулевых решений.

И

Примеры:

1. Сколько решений имеет система?

x 2y 3z 0;

m n 3.

x y z 0;

1

2

3

Решение. Находим определитель системы:det A

1

1

1

2 0.

1

1

1

Такая система имеет только тривиальное решение x y z 0.

2. колько решений имеет система?

x y 4z 0;

определитель

n m 3.

3x 3y 12z 0;

2x 2y 8z 0.

С

бА

1

1

4

Решен е. Наход м

системы: det A

3

3

12

0.

2

2

8

ляется решением той же системы.

И

§10. Собственные векторыДи собственные значения матрицы

Пусть задана квадратная матрица A. Рассмотрим уравнение

AX X,

(4)

матрицы A, а решения X уравнения (4) при таких её собствен-

ными векторами (прил. 7).

обственные значения и собственные векторы находят следую-

щим образом. Так как X EX (E единичная матрица), то уравне-

ние (4) можно переписать в виде

A E X 0 .

(5)

известными, где n порядок A. Для наличия нетривиального реше-

ния необход мо достаточно, чтобы определитель системы равнялся

С

нулю, т.е.

det A E 0,

или

a11

a12

a1n

a21

a22

a2n

0.

an1

an2

ann

бА

Это уравнение называется

характеристическим уравнением

матрицы A, служит для нахождения собственных значений . Рас-

крыв определитель, мы получим алгебраическое уравнение, степень

Д

3

2

A

.

4

1

3

2

Решение.

обственные значения матрицы

A

найдём из

С

4

характеристического уравнения

1

det A E

3

2

2

4 5 0,

решений

4

1

получаем 1 5; 2 1.

векторов,

соответствующих

Подпространство

со ственных

бА

1 5, есть множество

системы уравнений

A E X 0.

2x1 2x2 0;

4x2 0.

4x1

Т.е. L1 1,1 ,

действительное.

Для 2 1

L2 1,2 ,

действительное.

И

2.

3

1

Д

A

.

2

1

Решение. Матрица

3

1

A

имеет характеристическое уравнение

2

1

2 4 5 0 2 i;

2

2 i.

1

Собственному значению 1

соответствуют собственные векторы

3

1

A

.

1 2

С

1

1

Решен е.

Матр ца

3

1

имеет

собственные

значения

A

1

1

и

1 2

2.

1,1 ,

Отсюда получаем векторные подпространства L L

действ

тельное ч

сло.

бА

Вопросы

задан я для самопроверки по теме «Линейная

алге ра»

([1,2,3,4,8,9], прил. 1–7)

1. Пр вед те определение матрицы размера m n и определение

квадратной матрицы порядка n.

2.

Сформулируйте определения равных матриц, нулевой матри-

цы.

Д

3.

Запишите матрицу E4.

4.

Дайте определение произведения матрицы

А на число k.

5.

Как определяется сумма матриц?

6.

Как выглядит процедура транспонирования матрицы?

7.

Какие операции над матрицами называются линейными?

1

1

2

8.

Найдите произведение матриц

И

2

3

3

1

2

9.

Найдите произведение 1

2

.

1

3

1-й и 2-й столбцы?

16.

Как изменится определитель, если к его первой строке при-

бавить вторую с коэффициентом 3?

С

17.

Как изменится определитель, если все элементы второго

столбца умножить на 2?

18.

Как

змен тся определитель, если матрицу А транспониро-

вать?

определение

0

2

3

5

19. Выч сл те определитель матрицы

2

1

0

1

.

0

0

2

8

бА

2

1

1

3

20.

Дайте

ратной матрицы.

21.

При как х условиях матрица имеет обратную?

22.

Пр вед те определение минора порядка k квадратной мат-

рицы.

23.

Как вычисляется алге раическое дополнение элемента квад-

ратной матрицы?

24.

Какова схема нахождения обратной матрицы?

25.

1

2

Найдите матрицу, обратную к матрице

.

3

1

вую строку?

С

40.

Как изменится ранг матрицы, если к ней приписать нулевой

столбец?

41.

Как

змен тся ранг матрицы, если к третьей строке приба-

вить первую с коэфф ц ентом 2?

6

4

бавить

2

42.

Как

змен тся ранг матрицы, если ко второму столбцу при-

первый с коэфф циентом 3?

43.

Как

змен тся ранг матрицы, если переставить первый и

третий столбцы?

0

44.

бА1 1 2

Как

змен тся ранг матрицы, если вторую строку умножить

на 2?

45. Найти ранг матрицы

A 3

9

6 . r A ?

1

3

2

0

0

0