§24. Прямая в пространстве

M0 x0, y0,z0 и направлением, т.е. некоторым вектором, называемым

направляющим (прил. 18). Обозначим его

{ =, m,n} (рис. 54).

a

С

и

a

М(x,y,z)

М0

(x0 ,y0,z0 )

Рис. 54

бАm n

x x0

Д

.

2. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точ-

ки M1 x1,y1,z1 ,

M2 x2, y2,z2 ,

получают из канонического, считая

И

направляющим вектором прямой вектор M1M

2 , лежащий на прямой:

x x1

y y1

z z1

.

x2 x1

y2 y1

z2 z1

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

а) Прямая

x x0

y y0

z z0

параллельна

плоскости

m

n

Ax By Cz D 0 тогда и только тогда,

когда направляющий век-

С

тор прямой a ,m,n перпендикулярен нормали n A,B,C плос-

кости (рис. 56), т.е. если

0

или A Bm Cn 0 (прил. 19);

a

n

и

n

a

бА

Рис. 56

б) прямая перпендикулярна плоскости при условии

//

, т.е.

n

a

A

B

C

;

Д

m n

в) угол между прямой и плоскостью находят по формуле

sin

n

a

A Bm Cn

.

n

a

2

2

2

2

2

2

A B

C

m

n

Примеры:

И

A1 1; 1;2 ,

A2 2;1;2 ,

1. Даны координаты вершин пирамиды

A3 1;1;4 , A4 6; 3;6 .

A A

1 2 2 1 1 2 2 2 2

5

.

1

2

2) Найдем координаты векторов

и

:

A1A3

A1A4

1 1 ; 1 1 ; 4 2 0;2;2

5; 2;4 .

A1A3

A1A4

Тогда

cos

A1A3

A1A4

5

0

2 2 4 2

4

4

2

.

A1A3

A1A4

8 25 4 16

8 45

2 2 3 5 3 10

С

2. Нап сать

прямой в каноническом виде

x y 3z 4 0;

уравнение

x y z 1 0.

Решение.

составить каноническое уравнение прямой, необхо-

димо найти её направляющий вектор и точку на прямой.

Чтобы

Направляющий вектор прямой a находим как векторное произ-

ведение векторов-нормалей плоскостей:

a

=

n

×

n

(

n

={1,1,

3};

n

={1,1,1}.

А1 2 1 2

j

k

i

1

3

1

3

1

1

a

n1

n

2 1

1

3 i

j

k

1

1

1

1

1

1

1

1

1

Д

5

4

1

Теперь определим x: x

1 0; x

.

4

4

1

5

Итак, получ ли точку

;0;

.

4

4

Составляем канон ческое уравнение прямой

1

5

x

4

y 0

z 4

;

и4

1

4

5

0

x

y

z

4

4

.

4

0

4

Это искомое каноническое уравнение прямой.

Д

3.НайтибАточку пересечения прямой и плоскости:

x 1

y 1

z 3;

x 2 y z 1 0.

2

4

1

И

Решение. Запишем уравнение прямой в параметрическом виде

x 1

y 1

z 3

t

2

4

1

x 1 2t;

x 2t 1;

y 1 4t; или

y 4t 1;

z 3 t

z t 3.