МОС Конспект Лекций
.pdf
Теорема котангенсов (формула четырех рядом лежащих элементов).
Теорема котангенсов: во всяком сферическом треугольнике для
четырех рядом лежащих элементов произведение котангенса крайнего угла на синус среднего равно произведению котангенса крайней стороны на синус средней минус произведение косинусов средних элементов.
Теорема котангенсов
Теорема синусов
sin А |
|
sin В |
|
sin C |
|
sin а |
sin b |
sin c |
|||
|
|
Теорема синусов: во всяком сферическом треугольнике синусы углов относятся как синусы противолежащих сторон.
Равенство используется при решении треугольников как проверочное.
Если один из элементов найден неверно, оно не сохраняется.
РЕШЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ
СФЕРИЧЕСКИХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Прямоугольным называется такой сферический треугольник, у которого один из углов равен 90º.
Для решения прямоугольных сферических треугольников используются правила
Модюи-Непера.
Правила Модюи-Непера, можно применять при выполнении следующих трех условий:
1. Для решения данной задачи мы считаем основным условием, что в прямоугольном сферическом треугольнике не шесть, а пять элементов, поскольку прямой угол всегда известен (т.е. прямой угол как бы не существует).
2. Прямой угол не разделяет катетов b и с, т.е. они считаются рядом лежащими элементами.
3. Во всех формулах вместо катетов нужно брать их дополнения к 90º.
Правило 1. Если в прямоугольном треугольнике три элемента лежат рядом, то косинус среднего равен произведению котангенсов крайних.
Правило 2. Если в прямоугольном треугольнике два элемента лежат рядом, а один отдельно, то косинус отдельно лежащего элемента равен произведению синусов рядом лежащих не смежных с ним элементов.
Дано: b, B, А=90º.
Найти с, a.
Решение: .
Все три элемента лежат рядом. Воспользуемся Правилом 1.
cos(90°-c) = ctgB·ctg (90°-b), откуда:
sin c = tg b / tg B.
Решение: .
Элемент лежит отдельно. Воспользуемся Правилом 2.
cos(90º - b) = sin B · sin a, откуда:
sin а= sin b / sin B.
РЕШЕНИЕ ПРЯМОСТОРОННИХ
СФЕРИЧЕСКИХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Прямосторонним называется такой сферический треугольник, у которого одна из сторон равна 90º.
Дано: b, с, а=90º.
Найти В.
Решение:
cosb = cosa cosc + sina sinc cosB
cosB = cosb / sinc.
СФЕРИЧЕСКИЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ В ЗАДАЧАХ СУДОВОЖДЕНИЯ
1.Плавание по дуге большого круга.
Ортодромия – дуга большого круга (ДБК) – кратчайшее расстояние между двумя точками на сфере – кривая, обращенная выпуклостью к ближайшему полюсу.
При переходе судна по ДБК направление движения постоянно меняется. В точке отхода это начальный курс, в точке прихода это конечный курс.
Разность двух этих углов дает общее изменение направления ДБК между точками отхода и прихода и называется сферическим схождением (сближением) меридианов γ .γ = Кк - Кн.