МОС Конспект Лекций
.pdf
Взаимно полярные треугольники
Взаимно полярные сферические треугольники - два сферических треугольника, у которых вершины одного являются полюсами сторон другого.
Из вершины А как из полюса построим сферическим радиусом AM = 90° дугу а' большого круга. Точно так же из полюсов В и С сферическими радиусами ВК и CL построим дуги b' и с' больших кругов.
Три дуги, пересекаясь образуют новый сферический треугольник с вершинами А', В' и С'.
Сумма А внутреннего треугольника и а'
внешнего.
A = MN;
a` = C`M + MN + NB`; следовательно
A + a` = C`M + MN + MN + NB`.
Сумма дуг C`M и MN - это сферический
радиус стороны |
c внутреннего |
||
треугольника |
с |
полюсом |
в |
вершине C`, а сумма дуг MN и NB` - сферический радиус стороны b с полюсом в вершине B`. Каждый радиус равен 90°.
Поэтому: A + a` = 180°; B + b` = 180°;
C + c` = 180°.
Полученные равенства выражают первое свойство элементов взаимно полярных треугольников.
Сумма A` внешнего и a внутреннего
треугольников.
A` = KL = KC + CB + BL. A` + a = KC + CB + CB + BL;
KC+CB=90° и CB+BL=90° как сферические радиусы сторон b` и c`.
Следовательно:
A`+a=180°; B` + b = 180°; C` + c = 180°.
Полученные равенства выражают второе свойство элементов взаимно полярных треугольников.
Решение сферических треугольников
Порядок решения:
Начертить треугольник и обозначить заданные элементы.
Подобрать теоремы и привести формулы к рабочему виду.
Произвести расчеты в соответствии с рабочей формулой.
Проанализировать ответ и записать его. Если ответ получился отрицательным, добавить к нему 180о.
Произвести контроль по теореме синусов.
Решение сферических треугольников
При подборе теорем рекомендуется пользоваться только тремя заданными элементами (так называемое, независимое решение) и не брать вновь найденные элементы.
Если при решении необходимо записывать промежуточные результаты, надо сохранять не менее
5 знаков после запятой.
sin(40o ) 0, 6428.....
arcsin(0, 64) 39.8o
Теоремы сферической тригонометрии
Сферический треугольник считается заданным, если известны какие-либо три его элемента.
Под решением треугольника подразумевается отыскание его неизвестных элементов по основным формулам, к которым относятся:
формула косинуса стороны;
формула косинуса угла;
формула котангенсов, формула четырех рядом лежащих элементов;
формула синусов.
Теорема косинуса стороны
Теорема косинуса стороны: во всяком сферическом треугольнике
косинус стороны равен произведению косинусов двух других сторон плюс произведение синусов этих же сторон на косинус угла между ними.
Теорема косинуса стороны
Теорема косинуса угла
Теорема косинуса угла: во всяком сферическом треугольнике косинус
угла равен отрицательному произведению косинусов двух других углов плюс произведение синусов этих же углов на косинус стороны между ними.
Теорема косинуса угла