МОС Конспект Лекций

Приближенные вычисления с помощью правил подсчета цифр

Значащими цифрами числа называются все его цифры, начиная с отличной от нуля первой слева до последней, за правильность которой можно ручаться.

Цифра называется верной, если граница абсолютной погрешности данного приближенного значения числа не превосходит единицы того разряда, в котором записана эта цифра. В противном случае цифра называется сомнительной.

Округление.

Округлением данного числа до некоторого разряда называют замену его новым числом, которое получается из данного путем отбрасывания всех его цифр, записанных правее цифры этого разряда, или путем замены их нулями.

При округлении:

если первая из отбрасываемых цифр менее 5, то последнюю оставленную цифру не изменяют: 2,39724 2,3972.

если первая отбрасываемая цифра больше 5, то последний сохраняемый знак числа увеличивают на единицу:

0,09186 0,0919;

когда первая отбрасываемая цифра равна 5, а последующие знаки — нули, то:

-последнюю оставляемую цифру не изменяют, если она выражает четное число, 513,0250 513,02;

-и увеличивают на единицу, если — нечетное (округление до четного числа), 78,2350 78,24.

Правила подсчета цифр

1. При сложении и вычитании приближенных чисел в результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их имеется в слагаемом (или вычитаемом), содержащем наименьшее количество десятичных знаков.

Пример.

Найти сумму приближенных чисел 127,42; 67,3; 0,12 и 3,03.

Правила подсчета цифр

2. При умножении и делении приближенных чисел в произведении надо сохранить столько значащих цифр, сколько их есть в данном числе с наименьшим количеством значащих цифр.

Пример.

Умножить приближенные числа 12,32 и 3,4. 12,32 ∙ 3,4 = 41,888 ≈ 42.

Правила подсчета цифр

3. При возведении приближенных чисел в степень в результате следует оставлять столько значащих цифр, сколько их имеет основание степени.

Примеры.

2,32 = 5,29 ≈ 5,3;

1,232 = 1,5129 ≈ 1,51.

4. При извлечении корня n-ой степени из приближенного числа в результате следует брать столько значащих цифр, сколько их имеет подкоренное число.

Пример.

Правила подсчета цифр

5. В промежуточных результатах следует брать одной цифрой больше, чем рекомендуют предыдущие правила.

6. Если некоторые величины, участвующие в вычислении, имеют больше десятичных знаков (при сложении и вычитании) или значащих цифр (при умножении, делении, возведении в степень, извлечении корня), чем другие, то их предварительно округляют (по правилам округления), сохраняя при этом на одну цифру больше, чем в числе с наименьшим числом значащих цифр.

Приближенные вычисления по способу границ

1. Нижняя граница суммы приближенных чисел равна сумме нижних границ слагаемых, а верхняя - сумме верхних границ слагаемых. Это можно записать так:

НГ(х + у) = НГx + НГу; ВГ(х + у) = ВГx + ВГу.

2. Нижняя граница произведения приближенных чисел равна произведению нижних границ, а верхняя - произведению верхних границ. Это можно записать так:

НГ(xу) = НГx • НГу; ВГ(ху) = ВГx • ВГy.

3. НГ(х — у) = НГх — ВГу; ВГ(х — у) = ВГх — НГу.

4.

Пример, надо сложить приближенные числа:

х ≈ 3,2(±0,05) и у ≈ 7,9(±0,05). Имеем: 3,15<х< 3,25; 7,85 < у < 7,95, откуда: 11,00<х + y< 11,20.

Итак, х + у ≈ 11,1(± 0,1).

Из определения НГ и ВГ вытекают следующие правила:

округлять НГ можно только по недостатку, а ВГ - по избытку;

чем меньше разность ВГх – НГх, тем точнее определяется х;

в качестве приближенного значения х рекомендуется брать среднее арифметическое чисел НГх и ВГх.

Использование таблиц

Основные таблицы - Мореходные таблицы (МТ-2000), Norie's Nautical Tables, ATT, Nautical Almanac, МАЕ и др.

Интерполяцией (Interpolation) в вычислительной математике называют способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.

Экстраполяция (Extrapolation) оценка неизвестной величины, находящейся за пределами ряда известных величин.