- •Реологические основы расчета оборудования производства жиросодержащих пищевых продуктов
- •Список основных условных обозначений
- •Предисловие
- •Введение в инженерную реологию пищевой промышленности Основные общие понятия инженерной реологии пищевой промышленности и место реологии среди родственных дисциплин
- •Краткий исторический обзор развития реологии
- •Глава 1. Общая реология
- •1.1. Формализации Лагранжа и Эйлера
- •1.2. Законы сохранения вещества, количества движения и энергии
- •1.3. Дифференциальные уравнения неразрывности, движения и энергии
- •1.4. Тензор напряжений
- •1.5. Тензор скоростей деформаций
- •1.6. Вязкость, упругость, различные реологические эффекты
- •1.7. Реологические уравнения и уравнения состояния
- •Реологические уравнения
- •1.8. Вязкоупругость
- •1.9. Общая классификация реологических моделей пищевых сред
- •1.10. Микрореология
- •Глава 2. Реометрия
- •2.1. Классификация приборов и методов реометрии
- •2.2. Приборная инвариантность, имитационность и обработка данных в реометрии
- •2.3. Теория капиллярных вискозиметров
- •Реологические свойства казеина
- •2.4. Теория ротационных вискозиметров
- •2.5. Теория конических пластометров
- •2.6. Элементы теории различных реометров
- •2.7. Некоторые результаты реометрии пищевых сред
- •Значения коэффициента динамической вязкости меланжа,
- •Значения коэффициента динамической вязкости животных жиров,
- •Реологические свойства фаршей
- •Эталонные характеристики мясного фарша
- •2.8. Связь между структурно-механическими характеристиками и сенсорной оценкой качества продуктов
- •Глава 3. Реодинамика
- •3.1. Резание пласта вязкопластичного продукта
- •3.2. Течение пищевых сред по наклонной плоскости
- •Уравнения расхода жидкости
- •3.3. Течение пищевых сред в трубах прямоугольного сечения
- •3.4. Течение в различных рабочих каналах пищевых машин и аппаратов
- •3.5. Упрощенная линейная теория червячных нагнетателей
- •3.6. Уточненная гидродинамическая теория червячных нагнетателей
- •Значения поправочных коэффициентов kv и kр расходно-напорной характеристики червячного нагнетателя
- •Расчет поправочных коэффициентов для гидродинамической теории червячных нагнетателей в программе MathCad
- •3.7. Расчет червячных экструдеров по методу совмещенных расходно-напорных характеристик
- •3.8. Вероятность формосохранения пищевых изделий
- •3.9. Сопротивление движению лопасти смесительного аппарата
- •Глава 4. Экспериментальные исследования реологических характеристик жиросодержащих пищевых продуктов
- •4.1. Общие сведения
- •4.2. Методика проведения исследований
- •4.3. Обобщение результатов реологических исследований
- •4.4. Смеси мороженого
- •4.5. Маргарины
- •4.5.1. Маргарины с содержанием жира 82 %
- •4.5.2. Маргарины с содержанием жира от 40 до 75 %
- •4.6. Кулинарные жиры
- •4.7. Пищевой топленый свиной жир
- •4.8. Мясной студень
- •4.9. Плавленые сыры
- •4.10. Кисломолочные продукты
- •4.10.1. Сметана с содержанием жира 20 %
- •4.10.2. Кисломолочный напиток «Бифидок»
- •4.10.3. Кисломолочный напиток «Ряженка»
- •4.10.4. Кисломолочный напиток кефир «Фруктовый»
- •4.10.5. Кисломолочный напиток кефир «Детский»
- •4.11. Сливочный сыр сладкий
- •4.12. Творог
- •Список литературы
- •Приложение к гл. 4
- •Результаты экспериментальных исследований влияния температуры продукта и градиента скорости на реологические характеристики маргарина брускового «Росинка»
- •Глава 5. Учебно-методический материал
- •5.1. Вопросы и задания для самоконтроля и дистанционного обучения по инженерной реологии
- •5.2. Информационные технологии обучения – примеры программ для персональных компьютеров
- •Желаем удачи!
- •Желаем удачи!
- •Желаем удачи!
- •5.3. Вариант рабочей программы дисциплины «Инженерная реология»
- •Раздел 3
- •Тема 3. Основные структурно-механические свойства пищевых продуктов.
- •Раздел 4
- •Тема 4. Методы и приборы для измерения структурно-механи-ческих свойств пищевых масс.
- •Раздел 5
- •Тема 5. Предельное напряжение сдвига пищевых материалов.
- •Раздел 6
- •Тема 6. Реометрия на ротационных вискозиметрах.
- •Раздел 7
- •Тема 7. Капиллярная вискозиметрия.
- •Раздел 8
- •Тема 8. Реодинамическая теория экструдеров.
- •Раздел 9
- •Тема 9. Реодинамические расчеты трубопроводов, контроль процессов и качества продуктов по структурно-механическим характеристикам.
- •Часть 2. Лабораторный практикум
- •Часть 3. Список литературы
- •5.4. Некоторые единицы измерений
- •Заключение
- •Список рекомендуемой литературы
- •Предметный Указатель
- •Глава 1. Общая реология 20
- •Глава 2. Реометрия 71
- •Глава 3. Реодинамика 153
- •Глава 4. Экспериментальные исследования реологических характеристик жиросодержащих пищевых продуктов 191
- •Глава 5. Учебно-методический материал 301
- •Реологические основы расчета оборудования производства жиросодержащих пищевых продуктов
1.3. Дифференциальные уравнения неразрывности, движения и энергии
Единообразная форма трех законов физики позволяет с помощью теоремы о дивергенции преобразовать интегралы по поверхности к интегралам по объему, а затем по правилу Лейбница о дифференцировании определенных интегралов по параметру поменять последовательность дифференцирования и интегрирования. Полученные уравнения дают возможность записать дифференциальные уравнения неразрывности, движения и энергии пищевой среды, спроектировать эти уравнения на оси координат и решать различные краевые задачи течения, если известны дополнительно реологические уравнения или уравнения состояния дисперсной пищевой среды.
Итак, после названных преобразований законы физики могут быть записаны в виде
; (1.11)
; (1.12)
. (1.13)
В прямоугольных координатах дифференциальный оператор и полный дифференциал определяются равенствами
; (1.14)
, i = 1, 2, 3, (1.15)
где vi – проекция скорости потока на ось xi.
Тогда уравнение неразрывности для пищевой среды приобре-тет вид
. (1.16)
Следуя определению полной производной и раскрывая выражение для слагаемого, содержащего дивергенцию, запишем
; (1.17)
в проекциях на прямоугольную систему координат х, у, z
. (1.18)
Аналогично запишем уравнение движения:
. (1.19)
Положительный тензор соответствует отрицательному гидростатическому давлению р, а давление дает только дополнительный эффект к нормальным силам; это давление можно исключить из тензора напряжений, вычитая р из каждого диагонального члена тензора . Следовательно, можно ввести новый тензор напряжений :
= + р, (1.20)
где единичный тензор имеет вид
(1.21)
или
(1.22)
и
. (1.23)
Теперь уравнение движения можно записать следующим образом:
. (1.24)
Проектируя уравнение (1.24) на оси прямоугольных координат х, у, z, получим уравнения движения пищевой среды в скалярной форме:
; (1.25)
; (1.26)
. (1.27)
После ряда подобных преобразований можно получить уравнение энергии в прямоугольных координатах:
, (1.28)
где А – термический эквивалент работы; сV – удельная теплоемкость пищевой среды при постоянном объеме.
Тепловой поток связан с градиентом температуры в изотропной среде законом теплопроводности Фурье:
, (1.29)
где – коэффициент теплопроводности пищевой среды.
Формулы (1.28) и (1.29) позволяют решать термодинамические задачи расчетов переработки пищевых сред.
1.4. Тензор напряжений
В инженерной реологии пищевых дисперсных сред предполагается в основном рассматривать задачи течения, поэтому рассмотрим выражение для поверхностной силы вязкого сопротивления, приходящейся на единицу некоторой площадки, произвольно ориентированной в пространстве в прямоугольной системе координат. Вырежем мысленно элементарный тетраэдр, вершина которого совпадет с началом системы координат (рис. 1.1). Ориентация площадки определяется единичным вектором , скорость течения среды – вектором ; n – расстояние от начала координат до произвольной площадки, до основания тетраэдра.
На рис. 1.1 показаны три напряжения, которые вызваны силами, действующими в направлении оси х1. Первый индекс указывает на ориентацию поверхности, к которой приложена сила; второй индекс – на направление, вдоль которого действует сила. Например, 31 обозначает тангенциальную силу, отнесенную к единице площади, т. е. напряжение, действующее на грань, перпендикулярную оси х3 в направлении вдоль оси х1. Если обозначить площади граней тетраэдра, находящихся в координатных плоскостях, через S1, S2, S3 и стянуть тетраэдр в точку начала координат, то можно составить уравнения равновесия для компонент силы, действующей на наклонную площадку:
(1.30)
Рис. 1.1. Элементарный тетраэдр
Обозначив площадь наклонной площадки через S, уравнения равновесия можно записать так:
(1.31)
где n1, n2, n3 – проекции нормального единичного вектора на оси координат.
Вектор силы можно представить в виде суммы компонент:
(1.32)
где i – единичные вектора вдоль ортогональных осей координат.
Подставив в уравнение (1.32) выражения компонент вектора силы из уравнений равновесия, получим
. (1.33)
Заметим, что для симметричного тензора произведение на единичный нормальный вектор к наклонной площадке имеет вид
. (1.34)
Значит, сила, приходящаяся на единицу площади, может быть выражена следующим образом:
. (1.35)
В пределе стягивания тетраэдра в точку величина представляет собой силу, приходящуюся на единицу наклонной площадки, ориентацию которой характеризует нормальный единичный вектор . Величина называется тензором напряжения в данной точке и записывается в матричной форме:
. (1.36)
Для доказательства симметричности этого тензора выделим из среды плоскостями, параллельными координатным плоскостям, прямоугольный параллелепипед (рис.1.2), вращение которого могут обусловить тангенциальные силы F1, F2, F3, F4.
Р ис.1.2. Выделенный из среды параллелепипед
Силы на гранях параллелепипеда можно выразить через диагональные компоненты тензора напряжений и размеры тела. Например:
; (1.37)
. (1.38)
Затем вычисляются моменты этих сил относительно оси, проходящей через точку центра масс параллелепипеда и параллельной оси x3:
. (1.39)
Тогда
(1.40)
Теперь можно записать уравнение вращательного движения параллелепипеда:
(1.41)
где момент инерции параллелепипеда относительно оси вращения, проходящей через центр масс, определяется выражением
(1.42)
Тогда уравнение движения приобретает вид
(1.43)
и очевидно, что
(1.44)
Аналогично, рассматривая вращение вокруг двух остальных ортогональных осей, можно доказать равенство других диагональных элементов тензора напряжений:
. (1.45)
Следовательно, тензор напряжений в точке среды симметричный.