3.4. Течение в различных рабочих каналах пищевых машин и аппаратов

Приведенные в предыдущих разделах пособия формулы расхода можно использовать для сравнительно простых по форме каналов, однако при проектировании машин и аппаратов желательно иметь в распоряжении аналогичные формулы для более сложных по форме каналов. Такие формулы приведены в табл. 3.2.

Таблица 3.2

Формулы для сложных каналов

№ пп	Канал	Формула
1		Q =
2		Q =
3	Канал № 2 0,1   1	Q = (1– 0,578) p
4	Канал № 2  1	Q =   th
5		Q = – ;  =
6		Q =
7		Формула № 6 при de = r1e + r2e da = r1a+ r2a

Окончание табл. 3.2

№ пп	Канал	Формула
8		Q =   b p; b = R1 – R2
9		Q =
10		Q =
11		Q = , где С и Р – площадь и периметр поперечного сечения

Пользуясь формулами табл. 3.2, можно произвести расчеты течения пищевых сред практически в любых каналах пищевых машин. Следует, однако, признать, что эти расчеты первого приближения к точным моделям, поскольку коэффициент эффективной вязкости в ряде случаев является отдельной реометрической задачей.

3.5. Упрощенная линейная теория червячных нагнетателей

В упрощенной линейной теории используется модель движения пищевой среды между параллельными пластинами. Предполагается, что среда обладает линейной вязкостью, несжимаема, процесс перекачки изотермический и ламинарный. Канал винтового насоса схематизируется в виде горизонтального цилиндра, прямоугольного в сечении, с одной подвижной стенкой, при этом используется принцип обращенного относительного движения винта и винтового канала (рис. 3.3). Полагаем также, что внешний диаметр винта и внутренний диаметр винтового цилиндра совпадают, т. е. отсутствует зазор, в котором может быть обратный поток материала. Поток в этом зазоре можно учесть отдельно. Тогда скорость верхней пластины в прямоугольном канале

, (3.59)

где v_z – проекция скорости точек винта при y = h на ось z; D – внешний диаметр винта; n – угловая скорость винта, об/мин;  – угол подъема винтовой линии.

Уравнение движения в проекциях на ось z имеет вид

. (3.60)

Р ис. 3.3. Расчетная схема червячного нагнетателя:

а – модель развернутого червячного канала; б – схема действительного червячного канала

Реологические уравнения ньютоновской жидкости в прямоугольных координатах имеют вид

; (3.61)

; (3.62)

, (3.63)

где _xz, _уz, _zz – компоненты тензора касательных напряжений (девиатора тензора напряжений);  – коэффициент объемной вязкости (здесь равен 0).

Поставим выражения (3.61)–(3.63) в уравнение (3.60) и произведем следующие упрощения. В силу стационарности потока ; в плоскопараллельной модели канала v_x = v_у = 0; геометрия канала по оси z не меняется, откуда ; жидкость несжимаема, следовательно,  = 0;  = const; канал горизонтальный, откуда g_z = 0. С учетом названных упрощений получим дифференциальное уравнение движения для построения теории червячных нагнетателей:

. (3.64)

Пусть для неглубоких и широких каналов скорость течения мало зависит от координаты x. Тогда уравнение (3.64) еще больше упрощается, и получаем краевую задачу вида

. (3.65)

Решая эту краевую задачу, получим выражение для распределения скоростей течения среды в винтовом канале как функцию координаты y:

. (3.66)

Интегрированием получим формулу для построения расходно-напорной характеристики червячного нагнетателя:

. (3.67)

Разумеется, при выводе формул (3.66) и (3.67) были сделаны существенные упрощения, однако основные закономерности червячных нагнетателей и нагнетателей червячных экструдеров в пищевой промышленности эти зависимости описывают вполне удовлетворительно, особенно если вместо коэффициента динамической вязкости модели ньютоновской жидкости используется коэффициент эффективной вязкости для неньютоновской пищевой среды при определенной эффективной скорости сдвига.

Для уточненной теории винтовых нагнетателей с глубокими каналами следует учесть тормозящее действие боковых стенок винтового канала и в краевой задаче вместо дифференциального уравнения (3.65) использовать уравнение (3.64). Тогда математически задача решения краевой задачи с дифференциальным уравнением в частных производных (3.64) сводится к задаче Буссинеска, которая описывает не только течение жидкости в цилиндрическом канале прямоугольного сечения, но и кручение бруса прямоугольного сечения в теории упругости. Эта частная задача демонстрирует глубокую аналогию между математическим аппаратом гидродинамики и теории упругости, обусловленную сходством дифференциальных уравнений и линейностью законов упругости Гука и вязкости Ньютона.