Глава 1. Общая реология

1.1. Формализации Лагранжа и Эйлера

К изучению движения среды обычно подходят с точки зрения формализации Лагранжа или Эйлера. При лагранжевом описании движения элементарные частицы отождествляют с понятием материальной точки и задают уравнения их движения

(1.1)

где х_i – координаты точки; a_i, b_i, c_i – переменные Лагранжа, обычно координаты начального положения точек; t – время.

Заметим, что, во-первых, если перейти к обобщенным координатам и обобщенным силам, ввести линейно зависящие от скорости силы сопротивления (жидкое вязкостное трение при ламинарном течении ньютоновской жидкости), диссипативную функцию Релея, то ряд задач течения и задач механики для неконсервативных механических систем можно решать с помощью известных из классической аналитической механики дифференциальных уравнений Лагранжа второго рода; во-вторых, эти уравнения (в данном случае исторически эти уравнения будет справедливо назвать уравнениями Эйлера – Лагранжа) по существу являются условиями стационарности в вариационном исчислении некоторого функционала, что показывает возможность отождествления краевых задач о течении жидкости в форме дифференциальных уравнений движения и эквивалентных задач вариационного исчисления поиска экстремума некоторого функционала. Такая замена формулировки задач течения будет показана в дальнейшем и при численном решении может дать определенные преимущества.

При эйлеровом описании движения задают поле деформаций или скоростей как функции пространственных координат и времени, как бы следя за поведением частиц, проходящих через фиксированные точки пространства, в отличие от лагранжевого подхода, когда следят за движением определенной частицы по непрерывным точкам пространства. Кроме того, при эйлеровой формализации используется разработанный математический аппарат теории поля. Например, в гидродинамике при эйлеровом подходе поле скоростей задают в виде

где v_i – компоненты скорости частицы (проекции вектора скорости на координатные оси); х, у, z – координаты точек пространства.

В переменных Эйлера малые деформации элемента среды можно описать тензором деформаций

, (1.2)

где _xx, _уу, _zz – относительное удлинение (укорочение) граней элементов, расположенных вдоль осей x, у, z; _xу, _xz, _уz – сдвиг (изменение прямых углов) после деформации в соответствующих плоскостях.

Аналогично образуется тензор скоростей деформаций:

. (1.3)

П ри деформациях в точках сплошной среды возникают напряжения, которые характеризуются тензором напряженного состояния

, (1.4)

где _xx, _уу, _zz – нормальные напряжения; _ух, _zx, _zу – касательные напряжения.

Изучение связи (составление определяющих уравнений состояния) между тензорами напряжений, деформаций, скоростей деформаций, временем, температурой и параметрами состава материала является общей задачей реометрии. Располагая этими реологическими уравнениями, используя дифференциальные уравнения неразрывности, движения и энергии и определенные краевые и начальные условия, можно математически моделировать различные технологические процессы переработки пищевых материалов, проводить реодинамические расчеты оборудования.