3.3. Течение пищевых сред в трубах прямоугольного сечения
П
редполагается,
что среда обладает линейной вязкостью,
несжимаема, процесс течения изотермический
и ламинарный.
Рис. 3.2. Расчетная схема прямоугольной трубы
Уравнение движения в проекциях на ось z имеет вид
.
(3.8)
Реологические уравнения ньютоновской жидкости в прямоугольных координатах имеют вид
;
(3.9)
;
(3.10)
, (3.11)
где
–
компоненты тензора касательных напряжений
(девиатора тензора напряжений);
– коэффициент объемной вязкости (здесь
равен 0).
Подставим уравнения (3.9)–(3.11) в уравнение (3.8) и произведем следующие упрощения. В силу стационарности потока
;
в плоскопараллельной
модели канала vx = vу
= 0; геометрия канала по оси z не
меняется, откуда
;
жидкость несжимаема, следовательно,
= 0; = const; канал
горизонтальный, поэтому gz
= 0.
С учетом названных упрощений получим дифференциальное уравнение движения
(3.12)
с краевыми условиями
.
(3.13)
Решение краевой задачи (3.12) и (3.13) ищем в виде суммы функций
, (3.14)
откуда
(3.15)
и
;
(3.16)
.
(3.17)
Интегрируя, получим
;
(3.18)
;
С2 = 0; (3.19)
;
(3.20)
(3.21)
Пусть
,
(3.22)
тогда из уравнения (3.17) получим
.
(3.23)
Поскольку (3.23) должно быть удовлетворено при любых x и y, можно записать следующее тождество:
,
(3.24)
где k – некоторая константа, k > 0.
Из выражения (3.24) получим два однородных линейных дифференциальных уравнения в обычных производных:
;
(3.25)
.
(3.26)
Для уравнения (3.26) из краевых условий (3.21) получим краевые условия
(3.27)
Отбросив тривиальное решение уравнения (3.26)
, (3.28)
ищем решение уравнения (3.26) в виде экспоненциальной функции:
.
(3.29)
Далее находим характеристическое уравнение, имеющее комплексные корни, и с помощью уравнений Эйлера переходим к обычным тригонометрическим функциям:
(3.30)
,
(3.31)
где С1, С2, А, В – константы интегрирования;
.
(3.32)
По уравнениям Эйлера получим
.
(3.33)
C помощью краевых
условий (3.27) находим тривиальное решение
(А = 0, В = 0) и нетривиальное решение
(А = 0,
).
В нетривиальном решении последнее
выражение можно удовлетворить следующим
образом:
(3.34)
Тогда
(3.35)
Дифференциальное уравнение (3.25) превращается в систему дифференциальных уравнений вида:
(3.36)
или
.
(3.37)
Решение уравнения (3.37) аналогично решению уравнения (3.25), однако из-за знака «минус» решение по формулам Эйлера представляется в гиперболических синусах и косинусах:
. (3.38)
С учетом выражений (3.22), (3.35) и (3.38) запишем
.
(3.39)
Согласно теории линейных дифференциальных уравнений, общее решение будет суммой частных решений:
;
(3.40)
+
.
(3.41)
На основании краевых условий (3.13) запишем систему уравнений для нахождения констант интегрирования:
;
(3.42)
;
(3.43)
.
(3.44)
Из разности уравнений (3.43) и (3.44) получим
.
(3.45)
Из суммы уравнений (3.43) и (3.44) получим
.
(3.46)
Далее используем ряд Фурье:
,
(3.47)
где коэффициенты ряда определяются интегралами
;
(3.48)
.
(3.49)
Тогда применительно к выражению (3.46) получим
;
(3.50)
(3.51)
Проведем интегрирование по частям, используя три табличных интеграла:
;
(3.52)
;
(3.53)
.
(3.54)
После преобразований получим:
.
(3.55)
Поскольку четные n = 2, 4, 6… дают тривиальное решение Dn = 0, будем учитывать только нечетные слагаемые n = 1, 3, 5…, при которых числитель в правой части формулы (3.55) равен двум. Теперь распределение скоростей течения в канале определяется формулой вида
.
(3.56)
Двойным интегрированием получим объемный расход среды при течении в цилиндрическом канале прямоугольного сечения, предварительно перенеся начало координат в левый нижний угол сечения канала:
.
(3.57)
После преобразований получим формулу расхода
.
(3.58)
Формула (3.58) позволяет рассчитать объемный расход жидкости в цилиндрическом канале прямоугольного сечения при известных перепадах давления, коэффициенте динамической вязкости и геометрических размерах сечения. Бесконечная сумма в квадратных скобках больших сложностей не создает, поскольку ее расчет легко программируется и данный ряд гиперболических тангенсов быстро сходится.