4.5. Построение частотных характеристик разомкнутой системы по частотным характеристикам звеньев

По передаточной функции системы можно вычислить ее частотные характеристики. Это же можно выполнить и графически. Напри­мер, если задана передаточная функция системы

, (4.21)

то можно записать

.

При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а ар­гументы (фазы) складываются. Поэтому модуль суммарного вектора будет

.

Вышенаписанное выражение для W(ϳω) позволяет находить суммар­ную АФХ W(ϳω) по характеристикам отдельных звеньев.

,

где W_i(ϳω) - амплитудно-фазовая частотная характеристика i-го звена.

Отсюда амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы определится

(4.22)

и фазовая частотная характеристика

. (4.23)

На рис. 4.18 приводится построение АФХ разомкнутой системы по АФХ от­дельных звеньев. Построение АФХ разомкнутой системы при последователь­ном соединении звеньев производится по амплитудно-фазовым характери­стикам отдельных звеньев в соответствии с выражениями (4.22) и (4,23).

Построение представлено на рис. 4.18. Здесь А₁(ω) и А₂(ω) - модули АФХ

при определенной частоте, а φ₁ и φ₂- аргументы (фазы) при той же

частоте. Суммарный модуль ра­зомкнутой системы определяется .

Проделав аналогичное по­строение для других частот при изменении их от ω=0 до ω=∞, можно получить АФЧХ всей сис­темы в целом.

Можно показать, что, если для одного инерционного звена АФХ W_i(ϳω) имеет вид, приведен­ный на рис, 4.19, а, то при последо­вательном соединении двух звеньев на рис. 4.19, б и для трех звеньев рис.4.19, в.

Добавление инерционного звена с передаточной функцией

означает поворот вектора по фазе на угол, равный φ(ω)=-arctgωT. Следовательно, максимальный фазовый угол час­тотной характеристики растет по мере увеличения в системе числа инерционных звеньев. Очевидно, что эта тенденция роста фазового угла должна наблюдаться также и при увеличении числа колеба­тельных звеньев в системе.

Включение одного интегри­рующего звена, имеющего АФХ, совпадающую с мнимой осью в ее отрицательной части, приводит к поворо­ту всех векторов характеристики на угол, равный -90°, по часовой стрелке при одновременном умножении их модулей на модуль интегрирующего зве­на, т.е. на k/Tω где k и T- параметры звена. Например, если система имеет АФХ 1, представленную на рис. 4.20, то при последовательном включении одного интегрирующего звена с характеристикой 2, получим суммарную характеристику 3.

Последовательное включение двух интегрирующих звеньев в однокон­турную систему, составленную из инерционных и колебательных звеньев, приводит к повороту всех векторов АФХ на угол, равный ≈180°, т.е. создаёт большое фазовое отставание выходного сигнала от входного.

4.6.Построение логарифмических частотных характеристик разомкнутых сар

Зная логарифмические частотные характеристики отдельных динамических звеньев и пользуясь методикой их построения, сравнитель­но просто можно построить логарифмические частотные характеристики для разомкнутых САР.

Рассмотрим правила построения логарифмических частотных харак­теристик группы последовательно соединённых элементов. Так как при последовательном соединении звеньев

,

то, логарифмируя это равенство, можно записать

,

где L_i(ω) - ЛАЧХ отдельного звена.

Точно также логарифмическая фазовая частотная характеристика (ЛФЧХ) разомкнутой системы определяется

,

Числитель и знаменатель передаточной функции САР могут быть представлены в виде отношения полиномов

,

либо в виде отношения их разложений на элементарные множители

т.е. в общем случае может состоять из статических пропорциональных, апе­риодических и колебательных звеньев, а также интегрирующих и диффе­ренцирующих звеньев. Подставляя ϳω вместо можно получить частотную передаточную функцию системы W(jω). При использовании ЭВМ построение ЛАЧХ и ЛФЧХ не составит труда в любом случае. Однако разложение на множители передаточной функции позволяет построить асимптотические ЛАЧХ и ЛФЧХ практически без вычислительной работы.

В этом случае ЛАЧХ найдется

Для упрощения дальнейших построений запишем последнее выраже­ние в виде

Легко можно показать, что каждое слагаемое полученного выражения есть либо прямая линия, либо асимптотически приближается к прямым линиям при устремлении частоты к нулю и бесконечности. Наклон аппрок­симируемых прямых всегда кратен 20 дБ/дек.

Можно получить также следующее выражение для ЛФЧХ системы:

Как следует из последних выражений, ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой систе­мы при последовательном соединении звеньев могут быть получены путем суммирования ординат и характеристик отдельных звеньев. В качестве при­мера рассмотрим построение характеристик СAP при последовательном соединении одного интегрирующего и двух инерционных звеньев (рис. 4.21).

Логарифмические частотные характеристики данной системы могут быть построены более упрощенно без построения характеристик отдель­ных звеньев (рис. 4.22). Для этого воспользуемся следующей методикой.

1. Определяются и наносятся на ось частот полулогарифмической сетки сопряженные частоты звеньев. Для рассматриваемого примера со­пряжённые частоты звеньев находятся

.

При ω=1 откладывается ордината ЛАЧХ, равная 20lgk, где k - суммарный передаточный коэффициент последовательно соединенных звеньев, т.е.

.

На оси абсцисс удобно указывать наряду с lgω непосредственно и зна­чение ω.

2. Через полученную точку А проводится низкочастотная часть ЛАЧХ, т.е. участок ЛАЧХ, расположенный левее наименьшей сопряжённой частоты. Эта часть характеристики имеет наклон, равный 20(m-r) дБ/дек, где m - число дифференцирующих, а r- число интегрирующих звеньев. Указанный уча­сток характеристики проводится слева направо до пересечения с вертикаль­ной прямой, проходящей через наименьшую сопряжённую частоту (в нашем случае ω₂). Если в схеме отсутствуют интегрирующие и дифференцирующие звенья (множители p в знаменателе и числителе), то проводится прямая, параллельная оси абсцисс. В рассматриваемом примере наклон этого участ­ка ЛАЧХ равен 20(0-1)=-20 дБ/дек.

3. При частоте сопряжения ω₂ производится излом асимптоты ЛАЧХ в со­ответствии с типом звена, которому принадлежит данная сопрягающая часто­та. Частота ω₂ соответствует инерционному звену, поэтому наклон характери­стики изменяется на—20дБ/дек, т.е. становится равным -40дБ/дек. Участок ЛАЧХ с этим наклоном проводится до следующей сопрягающей частоты ω₃. Следует заметить, что при дифференцирующем звене наклон изменяется на +20 дБ/дек, а при колебательном звене - на -40 дБ/дек. Для колебательного звена при необходимости производится поправка, т.е. строится реальная ЛАЧХ в области частоты сопряжения.

При частоте ω₃=1/T₃ наклон характеристики опять изменится на -20 дБ/дек и станет равным -60 дБ/дек.

Таким же образом характеристика L(ω) продолжается в сторону уве­личения частоты, претерпевая последовательно изломы на каждой сопря­гающей частоте.

Построение логарифмических фазовых частотных характеристик ЛФЧХ последовательно соединённых звеньев выполняется либо при по­мощи специальных лекал, либо табличным способом, который во многих случаях оказывается и более простым, и более точным.

Для рассматриваемой системы суммарная фаза разомкнутой системы определится по выражению

.

Расчет фазовой частотной характеристики производится в виде сле­дующей таблицы.

Частота ω, 1/с	φ1(ω)	φ2(ω)	φ3(ω)	φ∑(ω)

Расчет производится в диапазоне от ω_min до ω_max, где ω_min=0,1ω₂=0,1∙1/T₂, ω_max=10ω₂=10∙1/T₃. Этим диапазоном будет определяться полоса пропускания частот системы.