3.2. Безынерционное звено

Безынерционным или усилительным звеном называют звено,

в котором выходная величина воспроизводит без искажений и запаздываний входную величину (рис. 3.1).

Связь между выходом и входом звена определяется алгебраическим

уравнением вида

,

где k - коэффициент пропорциональности, называемый обычно коэффи­циентом передачи (усиления) звена.

Коэффициент k может иметь любое действительное значение, как по­ложительное, так и отрицательное. В литературе встречаются и другие названия безынерционного звена: пропорциональное, усилительное, иде­альное и др.

Примером безынерционного звена может служить: безынерционный электронный или полупроводниковый усилитель, потенциометр, исполь­зуемый в качестве делителя напряжения, механическое сочленение валов электрических машин и т. д.

При подаче на вход такого эвена ступенчатого воздействия, соответ­ствующее ему значение выходной величины устанавливается мгновенно.

Так как выходная величина такого звена копирует изменение входной величины без всякого запаздывания или искажения, то в усилительном звене отсутствуют переходные процессы.

Передаточная функция безынерционного звена

. (3.1)

На структурных схемах пропорциональ­ное (безынерционное) звено изображается (рис. 3.2).

Уравнение амплитудно-фазовой характе­ристики в соответствии с передаточной функ­цией будет

. (3.2)

АФХ, построенная в комплексной плоскости, будет определяться точкой на вещественной оси, отстоящей от начала координат на рас­стоянии k (рис. 3.3).

Уравнения вещественной и мнимой частотных характеристик будут

, (3.3.)

где Р(ω) = k - вещественная часть АФХ;

Q(ω) =0 - мнимая часть АФХ.

Амплитудная частотная характеристика

. (3.4.)

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика (ЛАЧХ)

. (3.5)

Так как величина k от частоты не зависит, ЛАЧХ безынерционного

звена будет представлять прямую, параллельную оси абсцисс. Логарифмическая фазовая частотная характеристика (ЛФЧХ)

.

3.3. Апериодическое звено первого порядки

Апериодическим звеном первого порядки называется такое

звено, выходная величина которого в функции времени изменяется по экспоненциальному закону. Апериодические звенья называют также инер­ционными, статическими, релаксационными, одноёмкостными и др.

Инерционное звено описывается дифференциальным уравнением

первого порядка

, (3.7)

где T- постоянная времени звена (Т>0);

k- коэффициент передачи (усиления) звена.

. (3.8)

К апериодическим звеньям можно отнести: R-L и R-C цепи, генераторы постоянного тока, фильтры, термисторы, механические устройства, имею­щие массу и силу трения (без пружин), и другие подобные устройства, в ко­торых возможно накопление какого-либо вида энергии и её рассеивание.

Операторное уравнение апериодического звена

. (3.9)

Передаточная функция звена

. (3.10)

На структурных схемах графически инерционное звено изображается следую­щим образом (рис. 3.4).

Временная характеристика, представ­ляющая реакцию звена на ступенчатое воздействие x_вх(t)=1(t), определяется зависимо­стью x_вых=f(t).

Выходная величина в переходном режиме определяется

,

где вынужденная составляющая выходной величины

.

Свободная составляющая выходной величины x_вых(t) определяется из

следующего выражения

,

где P_k- корни характеристического уравнения звена

,

т.е.

.

Отсюда

,

.

Начальное значение для переходной функции найдется

,

т.е.

или

.

Окончательно получаем следующее выражение для переходной функции:

(3.11)

или

. (3.12)

На рис. 3.5, а приведена временная характеристика, представляющая

собой экспоненту. Время достижения установившегося значения

.

Весовая функция

представлена на рис. 3.5, б.

На структурных и функциональных схемах апериодические звенья ус­ловно изображаются следующим образом (рис, 3,6).

Амплитудно-фазовая характеристика апериодического звена

или

,

где - модуль вектора W(ϳω);

- аргумент вектора W(ϳω).

АФХ представляет собой окружность радиусом ^k/₂ c центром в точке 0, лежащей на оси абсцисс на расстоянии ^k/₂ от начала координат (рис. 3.7).

Уравнения вещественной и мнимой характеристик:

, (3.16)

. (3.17)

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика (ЛАЧХ) может

быть получена путём логарифмирования выражения для А(ω).

. (3.18)

В этом выражении слагаемое L₁(ω) = 20lgК представляет посто­янную величину, не зависящую от частоты. Рассмотрим вторую состав­ляющую ЛАЧХ

.

Полагая, что ω²∙T² «1 (ω <1/Т), получим L₂(ω)=0.

Если ω²∙T²» 1 (ω > 1/T), пренебрегаем единицей и получаем L₂ (ω) = -20∙lgТ∙ω, что соответствует наклону характеристики, равному -20 дБ/дек.

ЛАЧХ апериодического эвена может быть получена как сумма

L(ω) =L₁(ω) + L₂ (ω), т.е. суммированием ординат этих двух кривых

(рис. 3.8). Следовательно, приближённая ЛАЧХ состоит из двух асимптот. Первая представляет прямую, параллельную оси абсцисс, и отстаёт от неё на расстоянии 20∙lgk. Вторая наклонена к оси абсцисс с наклоном -20 дБ/дек. Сопряжение горизонтальной и наклонной прямых произво­дится в точке, соответствующей частоте сопряжения ω=1/Т. Частота, при которой L(ω) пересекает ось абсцисс, называется частотой среза.

Приближённая ЛАЧХ называется асимптотической. Такое название

связано с тем, что эта характеристика составлена из двух асимптот, к ко­торым стремится ЛАЧХ при ω→0 и ω→∞.

При ω=1/T

.

Таким образом, максимальное расхождение между истинной и асим­птотической ЛАЧХ равно всего 3 дБ. Поэтому при практических построе­ниях ЛАЧХ статических звеньев первого порядка используют обычно асимптотические ЛАЧХ.

Если частотные характеристики получены экспериментально, по ним не­трудно определить параметры звена Т и k, пользуясь описанной выше зави­симостью между этими характеристиками и передаточной функцией.

На примере этого звена явно видно, что величина полосы пропускания звеном частот, т.е. ширина частотной характеристики, является мерой быстродействие звена. Полоса пропускания частот обычно определяется диапа­зоном частот от , на декаду меньшей минимальной частоты сопряжения, до . на декаду большей макси­мальной частоты сопряжения. Чем больше этот диапазон частот, тем короче его переходная характеристика, т.е. меньше

инерционность звена.