3.7. Интегрирующие звенья

3.7.1. Идеальное интегрирующее звено

Интегральным называется такое звено, выходная величина ко­торого пропорциональна интегралу по времени от входной величины. Звено описывается следующим дифференциальным уравнением:

или

, (3.50)

где k - передаточный коэффициент интегрирующего звена, равный от­ношению скорости изменения выходной величины к входной. Такое звено называют также астатическим или нестабильным. Примером интегрирующего звена может служить электрический дви­гатель, если входом является скорость, а выходом - угол поворота вала, различные регуляторы САР, задающие устройства и др.

Операторное уравнение звена

.

Передаточная функция звена

, (3.51)

где k= 1/T; Т - постоянная времени интегрирующего звена.

На структурных схемах интегрирующее звено изображается следую­щим образом.

ПЕРЕХОДНАЯ ФУНКЦИЯ ИНТЕГРИРУЮЩЕГО ЗВЕНА

Если принять х_вх=1(t), то переходная функция (рис. 3.22) будет

или

.

Под постоянной времени интегрирующего звена понимают время, в те­чение которого при подаче на вход ступенчатого воздействия x_вх выходная величина достигнет этой величины.

Если входной сигнал исчезает, то выходная координата остаётся по­стоянной.

Весовая функция звена, т.е. реакция звена на единичный импульс, имеет вид

. (3.53)

ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ИНТЕГРИРУЮЩЕГО ЗВЕНА

Амплитудно-фазовая частотная функция

. (3.54)

Т.е. амплитудно-фазовая характеристика представляет собой уравнение прямой, совпадающей с отрицательным направлением мнимой оси (рис.3.23).

Уравнение вещественной и мнимой частотных характеристик будет иметь вид

.

Соответственно амплитудная и фазовая частотные характеристики определяются (рис. 3.24):

; (3.55)

; (3.56)

. (3.57)

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика

, (3.58)

где - прямая, параллельная оси абсцисс;

- прямая, имею­щая наклон -20дБ/дек и проходящая через точку ω=1 на оси частот.

Следовательно, ЛАЧХ идеального интегрирующего звена представляет со­бой прямую, проходящую через точку с абсциссой ω= 1, ординатой 20lgk , дБ и имеющую наклон -20 дБ/дек. Логариф­мические частотные характеристики иде­ального интегрирующего звена пред­ставлены на рис. 3.25.

При изменении коэффициента k, L(ω) перемещается параллельно самой себе.

3.7.2. Реальные интегрирующие звенья или интегрирующие звенья с замедлением

Реальные интегрирующие звенья обычно обладают опреде­лённой инерционностью, вследствие чего, их выходная величина при по­даче на вход входного сигнала изменяется с определённым замедлением.

Исходное дифференциальное уравнение интегрирующего звена с за­медлением будет иметь вид

(3.59)

или в операторном виде

,

или

.

Изображение выходной величины

. (3.60)

Если перейти от изображения к оригиналу при подаче на вход ступен­чатого воздействия X_вх=const и при нулевых начальных условиях, получим выражение переходной функции

. (3.61)

Принимая Х_вх=1, получим уравнение переходной функции, график ко­торой приведён на рис. 3.26.

Импульсная весовая переходная функция, т.е. реакция звена на еди­ничный импульс

. (3.62)

Передаточная функция имеет следующий вид:

. (3.63)

Уравнение амплитудно-фазовой характеристики

.

Если определить вещественную и мнимую части, то получим

. (3.64)

Амплитудная частотная характеристика

.

Фазовая частотная характеристика

. (3.66)

Амплитудная и фазовая частотные характеристики звена представле­ны на рис. 3.27.

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ (РИС.3.28)

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика

. (3.67)