5.3.Разряд конденсатора через резистор (рис. 5.7)

Дифференциальное уравнение будет таким же, как при заряде конденсатора, однако и тогда

(5.137)

Решение уравнения находим в виде

Рис. 5.7. Схема разряда емкости

Частно Частное решение

Если , то получим

.

Общее решение

В этом случае решение получается в виде

.

Полное решение уравнения для напряжения находим как сумма

.

Начальное условие согласно закону коммутации определяется формулой:

и тогда

Следовательно

, (5.138)

а ток

(5.139)

где начальное значение тока.

То есть как и в предыдущем случае ток в этой цепи изменяется скачком и затем спадает до нуля, однако напряжение монотонно спадает до нуля (рис. 5.8).

Рис. 5.8. Напряжение и ток при разряде емкости

5.4.Подключение индуктивности к источнику постоянной эдс через резистор (рис. 5.9)

Рис. 5.9. Схема включения индуктивности цепи

Дифференциальное уравнение электрического состояния такой цепи будет

(5.140)

и его решение для тока получим в виде

Частное решение

Если , то получим

.

Общее решение

В этом случае дифференциальное уравнение будет

(5.141)

и его решение всегда получается в виде

,

где: — постоянная интегрирования;

— единственный корень характеристического уравнения

Величина называется постоянной времени процесса.

Полное решение уравнения для тока находим как сумма

.

Начальное условие согласно закону коммутации определяется формулой:

и тогда

Следовательно

(5.142)

Напряжение на резисторе определим по закону Ома

(5.143)

а на индуктивности — исходя из формулы

. (5.144)

На рисунке 5.10 представлены кривые тока и напряжений на резисторе и индуктивности, из которых видно, что напряжение в этой цепи изменяется скачком и затем спадает до нуля, в то время как ток и напряжение монотонно возрастают.

Рис. 5.10. Напряжение и ток в цепи при включении индуктивности

Постоянная времени определяет скорость переходного процесса нарастания тока или напряжения цепи. Одним из способов определения является аналитический, когда этот параметр вычисляют по формулам (см. пп. 5.2, 5.4). Другим способом является геометрический, когда определяют по касательной, проведенной к точке начала графика изменения тока или напряжения (рис. 5.10). Переходный процесс часто считают практически закончившимся через интервал времени с момента коммутации, когда величины достигают своего максимального изменения.

В заключение отметим, что расчёт переходных процессов в более сложных вариантах электрических цепей и разными методами приведен в работах [1, 3, 4, 10].

Основные положения, изложенные в гл. 5 материалов:

Мгновенные подключения или отключения источников энергии либо мгновенные изменения параметров цепи, содержащей реактивные элементы, приводят к возникновению переходных процессов. Ток в индуктивности и напряжение на емкости не могут изменяться скачком. В первый момент времени непосредственно после коммутации они сохраняют те же самые значения, которые были до коммутации, а затем плавно изменяются. Ток или напряжение в переходном режиме имеют принужденную и свободную составляющие. Принужденная составляющая тока или напряжения определяется в результате расчёта цепи в установившемся режиме Свободная составляющая тока или напряжения в цепях первого порядка изменяется по экспоненциальному закону. Скорость убывания (или нарастания) экспоненты зависит от постоянной времени цепи , определяемой параметрами цепи. Переходный процесс можно считать закончившимся за время равное .