3.2.Формы представления гармонических колебаний

Графическое временное представление гармонических колебаний неудобно, т.к. при их построении необходимо вычислять величины в текущие моменты времени и по точкам их отсчета строить графики.

Если несколько величин , имеют одинаковую угловую скорость и отличаются только амплитудой и начальной фазой , то возможно упростить их представление.

Например, величины рис. 3.4 можно записать:

;

; (3.52)

.

и представить на рис. 3.6, для времени в виде векторов , которые вращаются с угловой скоростью вокруг оси .

Рис. 3.6. Представление синусоидальных токов в виде векторов

На этой фигуре, имеем:

— ось координат;

— модули векторов, длины которых могут быть равны амплитудным или действующим значениям токов;

— начальные фазы токов

Представление синусоидальных величин в виде рис. 3.6 получило название векторная форма. Векторные диаграммы успешно используются при анализе режимов работы цепей.

Совокупность векторов ЭДС, напряжений и токов, изображенных в общей системе координат, называется векторной диаграммой, которая дает наглядное представление об амплитудах (или действующих значениях), начальных фазах и углах сдвига фаз указанных величин. При вращении векторов с общей угловой скоростью их взаимное положение зависит не от начальных фаз, а от угла сдвига фаз между ними.

Использование временной и векторной формы синусоидальных величин при расчете цепей затруднено, т.к. выполнение законов Ома и Кирхгофа связано с выполнением математических действий: сложения, умножения, интегрирования и т.д. Например, сложение, умножение и т.д. токов (рис. 3.4, рис. 3.5) проблематично.

Для решения этой проблемы используют представление гармонических колебаний в виде комплексных чисел (векторов).

Расчет электрических цепей с использованием представления гармонических колебаний (тока, напряжения, ЭДС) в виде комплексных векторов называется символическим методом.

Рис. 3.7. Вектор на комплексной плоскости

Рис. 3.8. Вектор тока на комплексной плоскости

Некоторые сведения из курса математики:

Сумма вещественного и мнимого чисел называется комплексным числом. Обозначается комплексное число буквой с чертой под ней: . Здесь — вещественная часть комплексного числа , т.е. — мнимая часть комплексного числа , т.е. .

В основе вычислений комплексных чисел лежит формула Эйлера

(3.53)

где — комплексное число, — модуль комплексного числа, — аргумент комплексного числа, — мнимая единица (в математике её обозначают буквой , однако в электротехнике этой буквой обозначают мгновенное значение тока); соответственно: показательная, тригонометрическая и алгебраическая формы представления комплексного числа; — обозначается в виде — действительная часть комплексного числа; — обозначается в виде — мнимая часть комплексного числа.

Формулы перехода между формами представления комплексного числа отражает выражение (3.5). Обратный переход осуществляют по формулам:

(3.54)

(3.55)

Комплексное число легко представляется в комплексной плоскости (рис. 3.7) в координатах вещественная ось (+1), мнимая ось ( ).

Пусть задан комплексный ток, используя формулу Эйлера получим:

(3.56)

В выражении (3.8)

, (3.57)

Соответственно, представляют косинусоидальную и синусоидальную формы записи гармонических колебаний (см. п. 3.1).

Таким образом, косинусоидальная и синусоидальная форма записи (3.9) мгновенных величин однозначно связана с (3.8) комплексным представлением тока и наоборот.

Аналогично комплексному току (3.8) представляют комплексное напряжение и комплексную ЭДС .

Комплексный ток легко представляется в комплексной плоскости рис. 3.8.

Три синусоидальных тока (рис. 3.4), имеющих временную форму записи, могут быть представлены в виде комплексных чисел:

На рисунке 3.9 показаны эти три тока в виде векторов на комплексной плоскости.

Рис. 3.9. Комплексные токи

Преимущество комплексного представления величин:

1. Форму представления комплексного тока можно изменить:

,

Оператор поворота присутствует в качестве общего множителя во всех законах электротехники Ома (2.1), (2.5), Кирхгофа (1.18), (1.19) поэтому его можно вынести за скобку правой и левой частей уравнений и сократить. Оператор поворота не участвует в расчетах цепей символическим методом.

Примем в качестве комплексного тока вектор , используя понятие действующего значения тока (3.2) , окончательно запишем для комплексного тока преобразование

≓ (3.58)

где "≓" — знак соответствия комплексной и синусоидальной форсм представления величин.

Аналогично для напряжения и ЭДС:

≓ (3.59)

≓ . (3.60)

Величины называются комплексными, соответственно, тока, напряжения и ЭДС;

2. Комплексные легко изображаются в комплексной плоскости (рис. 3.8, рис. 3.9)

3. Сложение (вычитание) комплексных чисел производят в алгебраической форме их представления;

4. Умножение (деление) комплексных чисел производит в показательной форме их представления;

5. Дифференцирование (интегрирование) величин во времени равносильно умножению (делению) на оператор их комплексного представления;

6. Умножение на равносильно повороту комплексного вектора на .

Пример 3.2. Дано комплексное действующие значение тока . Найти параметры синусоидальной функции времени — мгновенного значения тока, соответствующего заданному комплексному числу.

Решение. Действующее значение тока (3.6)

A;

амплитуда тока

A;

начальная фаза тока (3.7)

.

Искомое мгновенное значение тока

A.

Угловая частота предполагается известной.

Пример 3.3. Заданы параметры синусоидального тока: амплитуда А, начальная фаза , угловая частота рад/с. Требуется записать мгновенное значение тока, рассчитать его комплексное действующие значение в трех формах.

Решение.

A; A;

A.

Пример 3.4. Задано комплексное напряжение ; частота Гц. Требуется найти мгновенное значение напряжения .

Решение. Комплексное напряжение из алгебраической формы переведем в показательную (3.6), (3.7)

B;

;

B.

По известному действующему значению напряжения определим его амплитуду

B;

угловая частота

рад/с;

мгновенное значение напряжения (3.11)

Пример 3.5. Найдем произведение двух комплексных напряжений:

При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а фазы складываются. Поэтому

.

Пример 3.6. Найдем сумму двух комплексных напряжений:

В и В.

Для сложения двух комплексных чисел необходимо записать каждое из них в алгебраической форме записи. В соответствии с (3.5) имеем

Складывая отдельно вещественные и мнимые части и , получаем

Преобразуем в показательную форму, используя (3.6) и (3.7):

Основные положения, изложенные в п. 3.2 материалов:

Амплитуда гармонического колебания определяет длину вектора, начальная фаза колебания — угол поворота вектора, а частота колебаний в герцах — число оборотов вектора в секунду. Гармонические колебания с одинаковыми частотами удобно отображать неподвижными векторами. Разность начальных углов поворота двух векторов указывает на сдвиг фаз между двумя гармоническими колебаниями. Наиболее удобно производить расчеты цепей гармонических колебаний тока, напряжения, ЭДС в комплексной (символической) форме их представления. Амплитуда гармонических колебаний может отображаться модулем комплексного числа, а начальная фаза этого колебания - аргументом комплексного числа. Символическое представление гармонического колебания — это представление его в виде комплексного числа либо вектора на комплексной плоскости.