3.3.5.Цепь переменного синусоидального тока с последовательно соединенными элементами r, l, c
Рис.
3.27. Электрическая цепь с последовательно
соединенным
элементами
На практике электрическую цепь можно представить как последовательное соединение трех идеальных элементов: сопротивление, индуктивность и емкость.
Запись -го закона Кирхгофа для этой цепи дает следующее уравнение в комплексной форме с действующими значениями
(3.80)
или
(3.81)
Выражение (3.33) является законом Ома
для последовательной
цепи, а
— полным комплексным сопротивлением
цепи.
, (3.82)
где
, (3.83)
(3.84)
Анализируя полученные формулы (3.32) и
(3.36) можно констатировать,
что все
представленные величины зависят от
разности
.
В результате появляются три
соотношения:
Рассмотрим их по порядку.
-
а)
б)
в)
Рис. 3.28. Векторные диаграммы
цепи:
(а)
;
(б)
;
(в)
В этом случае
,
и из выражений (3.32) - (3.36) следует:
;
;
— сопротивления цепи имеет
активно-индуктивный характер.
Векторная диаграмма цепи показана на
рис. 3.28, а. Фазовым углом
можно управлять, изменяя соотношение
сопротивлений (3.36) в пределах
.
В этом случае
,
и из выражений (3.32) - (3.36) следует:
;
;
— сопротивление цепи имеет
активно-емкостной характер. Векторная
диаграмма цепи показана на рис. 3.28, б.
Фазовым углом
можно управлять в пределах
,
изменяя соотношения
сопротивлений
(3.36).
|
|
а) |
б) |
Рис. 3.29. Временные графики тока и напряжения для векторных диаграмм рис. 3.28, (а) и рис. 3.28, (б)
Временные графики тока и напряжения,
соответствующие соотношениям
и
изображены на рис. 3.29. Они также
отражают
и соответствуют результатам
анализа диаграмм рис. 3.28, а и
рис. 3.28, б.
В этом случае выполняется равенство
(3.85)
Из соотношений (3.32) - (3.36) следует:
;
;
.
— сопротивление в цепи имеет чисто
активный характер. Векторная диаграмма
цепи изображена на рис. 3.28, в,
и
соответствует временным графикам тока
и напряжения рис. 3.13, б.
Этот
режим работы цепи получил название
резонанс напряжений. Он
реализуется при выполнении условия
резонанса (3.37), при котором
,
(
,
.
Признаком выполнения режима резонанса
напряжения является наличие максимального
значения тока в цепи
при достижении
емкости
значения, как это показано на
рис. 3.30.
Из соотношения для резонанса напряжения
(3.37) можно вывести формулу для резонансной
частоты
.
Из этого выражения следует, что режим резонанса можно получить тремя способами: изменениями частоты , индивидуальности или емкости (рис. 3.30). Однако в любом случае явления в цепи при резонансе одинаковые.
|
|
Рис. 3.30. График изменения тока цепи |
Рис. 3.31. Векторная диаграмма при резонансе напряжений |
Сопротивление реактивного элемента при резонансной частоте называется характеристическим сопротивлением последовательного контура
(3.86)
Отношение характеристического сопротивления к активному сопротивлению контура называется добротностью последовательного контура
(3.87)
Рассмотрим характерные особенности режима резонанса напряжений:
1. Так как
,
то
и суммарное сопротивление участка цепи
активное, т.е. полное сопротивление при
резонансе равно активному сопротивлению
и минимально при заданном R.
2. Ток
максимален
.
Это свойство позволяет обнаружить
резонанс напряжений при изменении
или С. Однако резонансный ток при
определенных условиях опасен — он
может привести к перегреву элементов
цепи и выводу их из строя.
3. Напряжения на отдельных участках контура:
;
;
.
Так как при резонансе
,
то напряжения на участках контура
с
реактивными элементами равны (
),
напряжение на участке с активным
элементом
равно напряжению питания на выводах
контура и совпадает c ним
по фазе:
Если
,
то
,
т.e. напряжение на участках
с
реактивными элементами может быть
больше, чем напряжение питания
(см.
рис. 3.31). Это свойство —
усиление напряжения — является важнейшей
особенностью резонанса напряжений и
широко используется в технике, отсюда
и наименование этого явления.
Коэффициент усиления напряжения равен
добротности контура
.
Вместе с тем значительное повышение напряжения на реактивных элементах при резонансе может привести к пробою изоляции и опасно для обслуживающего персонала.
4. Активная мощность при резонансе
максимальна,
так как
,
а ток
максимален. Реактивные мощности на
и
равны,
но противоположны по знаку.
Это значит, что в те интервалы времени,
в течение которых энергия накапливается
в магнитном поле индуктивного элемента,
она поступает из электрического
поля емкостного элемента. Происходит
— обмен энергией между реактивными
элементами L и C
контура. Источник питания в этом обмене
не участвует. В этом обмене энергий и
заключается физический смысл резонанса
напряжений.
Частотной характеристикой называется
зависимость параметров цепи
от
частоты. Активное сопротивление R
большинства устройств (если речь
идет
об ограниченном интервале
изменения частоты) от частоты не зависит.
Зависимости индуктивного
и емкостного
сопротивлений от частоты определяются
формулами:
и
;
они изображены на рис. 3.32.
|
|
Рис. 3.32. Частичная характеристика |
Рис. 3.33. Резонансные кривые |
Реактивное сопротивление контура
.
При
и
реактивное сопротивление X носит
емкостный характер. При
наступает резонанс напряжений (
)
и сопротивление контура чисто активное,
при
и реактивное сопротивление X носит
индуктивный характер.
Резонансными кривыми называют
зависимости основных величин цепи
(I,
,
)
от частоты (рис. 3.33). На том же рисунке
показана зависимость
.
Необходимо отметить, что одинаковые
максимальные значения напряжений
и
получаются при разных частотах, не
совпадающих с резонансной
.
5. Возникновение максимальной величины тока в цепи и напряжений на элементах цепи больших, чем напряжения на входе сети (рис. 3.31), делает явление резонанса напряжений опасным режимом в энергообеспечении, который следует избегать из-за возможного выхода реальных объектов из строя. В схемотехнике явление резонанса напряжений применяют для выделения информации на разных частотах каналов радио-телевидения, например, с использованием узкополосных резонансных усилителей, фильтров и т.д.
Пример 3.12. В цепи с последовательным
соединением катушки
с параметрами
R, L с конденсатором (рис. 3.34)
плавно изменяется емкость C
конденсатора. При максимальном токе в
цепи сняты показания приборов:
А,
В,
В. Частота тока в цепи 50 Гц. Определить
параметры
цепи C,
R, L.
Рис. 3.34. Схема к примеру 3.12
и показания вольтметра
,
подключенного к выводам катушки.
Решение. Так как ток максимальный,
то в цепи имеет место резонанс напряжений,
при котором
В,
В. Напряжение на катушке
и
показание вольтметра
Емкостное сопротивление
Емкость
При резонансе
,
поэтому
и
Из формулы
индуктивность
