5.1.Переходные процессы в цепи с последовательным соединением элементов r, l, c (рис. 5.1)

Рис. 5.1. Схема включения R, L, C цепи

При замыкании ключа К, для цепи с последовательным соединением элементов R, L и C, т.е. последовательного контура (рис. 5.1), согласно второму закону Кирхгофа для мгновенных значений имеем

или, так как ,

, (5.126)

т.е. получается линейное дифференциальное неоднородное уравнение второго порядка для напряжения на емкости .

Такого же вида уравнение можно получить и для тока , если подставить выражение , где — постоянная интегрирования. После подстановки и дифференцирования будем иметь:

(5.127)

Решение любого из уравнений (5.3) или (5.4) даст результат расчёта переходного режима цепи по току и напряжения.

Выберем дифференциальное уравнение цепи

(5.128)

Его решение ищем в виде

,

.

Частное решение:

Если и , то согласно схеме (рис. 5.2)

Рис. 5.2. Схема установившегося режима R, L, C цепи

установившиеся значения будут равны

и .

и .

Общее решение для свободной составляющей .

В этом случае получим схему (рис. 5.3) и дифференциальное уравнение

(5.129)

Рис. 5.3. Схема для свободного режима R, L, C цепи

Решение такого уравнения для напряжения получается в виде

и тогда ток будет

Здесь: и — постоянные интегрирования;

и — корни характеристического уравнения

Полное решение для напряжения на емкости представляет сумму

и для тока

(5.130)

Начальные условия решения уравнений находятся согласно законам коммутации (5.1) и (5.2):

1. Ток в цепи с индуктивностью не может измениться скачком

,

2. Напряжение на емкости не может измениться скачком

Решение для , находим как

,

,

откуда получаем постоянные интегрирования

, .

Однако характер переходного процесса зависит от корней характеристического уравнения , которые находим как

. (5.131)

Рассмотрим три случая по порядку:

1. если , то комплексные сопряженные корни и процесс будет колебательным (рис. 5.4 кривая а);

2. если , то и действительные разные корни и процесс будет апериодическим (рис. 5.4 кривая б);

3. если , то действительные, равные корни и будем иметь предельный случай апериодического процесса (критический) (рис. 5.4 кривая в).

Рис. 5.4. Графики : колебательный (а), апериодический (б), критический (в) режимы

5.2.Заряд конденсатора через резистор (рис. 5.5)

Рис. 5.5. Схема заряда емкости

Дифференциальное уравнение цепи

(5.132)

и его решение находим в виде

.

Частное решение

Если , то получим

.

Общее решение

В этом случае дифференциальное уравнение будет

(5.133)

и его решение всегда получается в виде

,

где: — постоянная интегрирования;

— единственный корень характеристического уравнения

.

Величина называется постоянной времени заряда. Чем больше , тем больше время переходного процесса. Для переходный процесс практически заканчивается.

Полное решение уравнения для напряжения находим как сумма

. (5.134)

Начальное условие согласно закону коммутации определяется формулой:

и тогда

Следовательно

, (5.135)

а ток

, (5.136)

где начальное значение тока.

Таким образом, ток в этой цепи изменяется скачком и затем спадает до нуля, а напряжение монотонно возрастает до величины ЭДС (рис. 5.6).

Рис. 5.6. Напряжение и ток при заряде емкости