3.3.Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме
Законы Кирхгофа для мгновенных значений i(t), u(t) и e(t) (1.18) и (1.19) выполняются в комплексной форме их записи (3.10) - (3.12).
Первый закон Кирхгофа: сумма комплексных токов в узле электрической цепи равна нулю:
(3.61)
Второй закон Кирхгофа: сумма комплексных напряжений в контуре равна сумме комплексных ЭДС в том же контуре:
(3.62)
Для узла, изображенного на рис. 3.10 по первому закону Кирхгофа в комплексной форме
для контура, показанного на рис. 3.11 по второму закону Кирхгофа в комплексной форме
где
— комплексные действующие значения
напряжения
на элементах R,
L, C.
|
|
Рис. 3.10. Узел цепи |
Рис. 3.11. Контур цепи |
Закон Ома. Электрическая цепь синусоидального тока включает: сопротивления, индуктивности и емкости (см. п. 1.2) соединение которых может быть представлено в виде двухполюсника рис. 3.12. Запишем Закон Ома для двухполюсника
(3.63)
где
— полное комплексное сопротивление
цепи и оценивается в омах (Ом).
Рис. 3.12. Двухполюсник
Из (3.15) находим
(3.64)
(3.65)
Определяя: Z — полное сопротивление
цепи, R — активное сопротивление
цепи,
— реактивное сопротивление цепи;
— индуктивное
и
— емкостное сопротивление цепи (их
значения будут определены ниже), можно
пояснить физический смысл выражения
(3.16). Используя результаты анализа п.
1.2 по принципу работы элементов R,
L и C
в цепи и выражение (3.16) определим, что
полное комплексное сопротивление
отражает все виды энергии
в
которые превращается энергия
электрического тока в цепи двухполюсника:
R — тепловую энергию,
— энергию электромагнитного поля,
— энергию электростатического поля.
Рассмотрим этот процесс подробнее с использованием символического метода расчета.
3.3.1.Цепь синусоидального тока с резистивным элементом
В этом случае
— сопротивление цепи носит активный
характер.
Закон Ома для сопротивления R (1.5) преобразуем в комплексный вид
≓
(3.66)
|
|
а) |
б) |
Рис. 3.13. Схема (а) и графики (б) напряжения и тока резистора
Пусть по цепи рис. 3.13, а протекает гармонический ток, которому соответствует комплексный ток
≓
(3.67)
Форма напряжения на резистивном сопротивлении точно повторяет форму тока, т.е. в те моменты, когда мгновенные значения тока равны нулю, мгновенные значения напряжения так же равны нулю, а когда мгновенный ток максимален, мгновенное напряжение так же максимально.
Из выражения (3.18) следует, что амплитуда гармонического напряжения зависит от амплитуды тока и значения сопротивления, а начальная фаза напряжения совпадает с начальной фазой тока, т.е. сдвиг фаз между током и напряжением равен нулю.
и
(3.68)
Такие процессы называются совпадающими по фазе (рис. 3.13, б).
Из (3.20) следует, что отношение амплитуды
гармонического напряжения
к амплитуде гармонического тока
равно резистивному сопротивлению
цепи
(измеряется в омах).
Равенство (3.18) представляет собой закон Ома в комплексной форме.
Подставляем (3.19) в (3.18) и преобразуя в синусоидальную форму получим —
≓
где:
— действующее значение напряжения;
— амплитудное значение напряжения;
— номинальная фаза напряжения;
— угловая частота.
Векторная диаграмма напряжения и тока для представлена на рис. 3.15, а.
Мгновенное значение мощности будет —
и в действующих значениях —
Среднее за период значение активной мощности —
(3.69)
Пример 3.7. К резистору с сопротивлением
Ом приложено синусоидальное
напряжение
В. Найти показания амперметра,
измеряющего действующее значение, и
записать мгновенное значение тока.
Решение. Действующее значение напряжения
Комплексное напряжение
По закону Ома комплексное действующее значение токa
Показания амперметра равны модулю комплексного действующего значения тока, т.е. амперметр покажет 22 А.
Мгновенное значение тока можно записать, так как известны его амплитуда и начальная фаза:
