3.6.Комплексные передаточные функции

В отличие от коэффициента передач резистивной цепи (см. п. 2.4) коэффициент передачи в цепях синусоидального тока имеет комплексную форму.

Рассмотрим электрическую цепь, изображенную на рис. 3.50.

Нас может интересовать любая реакция цепи (напряжение или ток в любом элементе или ветви цепи) на любое из приложенных воздействий. Предположим, что воздействие создается источником , а реакцией является ток или напряжение на . В этом случае цепь удобно представить четырехполюсником, на входе которого включен источник с заданным воздействием, а на выходе — интересующий нас элемент, например, как это сделано на рис. 3.51.

Рис. 3.50. Электрическая цепь с тремя источниками энергии

Рис. 3.51. Представление цепи на рис. 3.50 в виде четырехполюсника

Рис. 3.52. Символическое изображение напряжений и токов в цепи рис. 3.51

Символическое изображение напряжений и токов на входе и выходе четырехполюсника показано на рис. 3.52.

Важнейшей характеристикой линейной электрической цепи является комплексная передаточная функция . Она определяется отношением комплексной амплитуды реакции к комплексной амплитуде воздействия.

В зависимости от того, что считается реакцией и воздействием, различают следующие виды передаточных функций.

1. Комплексный коэффициент передачи по напряжению

(3.98)

2. Комплексный коэффициент передачи по току

(3.99)

3. Комплексное передаточное сопротивление

(3.100)

4. Комплексная передаточная проводимость

(3.101)

Комплексное число может быть представлено в показательной форме

,

где — модуль передаточной функции, а — ее аргумент.

Действительно, рассмотрим передаточную функцию

Модуль передаточной функции

(3.102)

представляет собой отношение амплитуды напряжения гармонической реакции цепи к амплитуде напряжения гармонического воздействия, т.е. показывает, во сколько раз амплитуда напряжения гармонического колебания на входе цепи изменилась при прохождении колебания через цепь. Поэтому величину и называют коэффициентом передачи по напряжению.

Аргумент передаточной функции

(3.103)

— показывает изменение начальной фазы входного колебания напряжения после передачи этого колебания по цепи и называется фазовым сдвигом.

Знание комплексного коэффициента передачи цепи позволяет вычислить реакцию цепи на гармоническое воздействие. Амплитуда реакции

,

а ее начальная фаза

Другими словами, чтобы найти амплитуду напряжения гармонического колебания на выходе цепи, нужно амплитуду входного напряжения гармонического колебания умножить на коэффициент передачи по напряжению, а чтобы найти начальную фазу выходного гармонического колебания, нужно к начальной фазе входного гармонического колебания добавить фазовый сдвиг, вносимый цепью.

В символической форме записи комплексная амплитуда гармонического колебания на выходе цепи определяется из соотношения

(3.104)

Аналогичным образом вычисляют коэффициент передачи по току

и сдвиг фаз колебания тока

;

полное передаточное сопротивление цепи

и фазовый угол этого сопротивления

,

а также полную передаточную проводимость

и ее фазовый угол

В общем виде можно записать

Очевидно, что в схеме рис. 3.50 в качестве реакции может выступать напряжение или ток в любом элементе или любой ветви цепи, а в качестве воздействия использоваться не только напряжения или токи источников, но и любые напряжения или токи элементов (ветвей) цепи.

Основные положения, изложенные в п. 3.6 материалов:

Комплексный коэффициент передачи цепи — это отношение комплексной амплитуды реакции к комплексной амплитуде воздействия. В качестве реакции и воздействия могут быть выбраны любые интересующие нас токи и напряжения в элементах и ветвях цепи. Коэффициент передачи по напряжению (току) показывает, во сколько раз изменилась амплитуда входного гармонического напряжения (тока) при передаче его по цепи. Фазовый сдвиг, вносимый цепью, показывает изменение начальной фазы входного гармонического колебания при прохождении его по цепи.