3.5.Расчёт разветвленных цепей гармонического тока

3.5.1.Расчёт цепей синусоидального тока

Расчёт цепей при синусоидальном токе производится в символической форме (см. п. 3.2)

При расчёте цепей с одним источником используется следующий алгоритм действий:

1. Цепь, содержащую источник гармонических колебаний, преобразуют, заменяя ее элементы их комплексными сопротивлениями, а мгновенные значения ЭДС, токов и напряжений их комплексными значениями.

2. Рассчитывают комплексные значения токов и напряжений в ветвях используя метод эквивалентных сопротивлений, законы Ома и законы Кирхгофа.

3. Определяют соответствующие мгновенные значения токов и напряжений в цепи.

Пример 3.14. В качестве примера рассмотрим цепь рис. 3.42, а. Определим сначала эквивалентное комплексное сопротивление двух параллельных ветвей, включенных между узлами a и b:

где

— комплексные сопротивления параллельных ветвей. Общее сопротивление цепи между выводами c и d

где

Комплексные значения тока и напряжений на участках

Применив закон Ома, найдем комплексные значения токов в каждой параллельной ветви:

Комплексная мощность источника ЭДС равна сумме комплексных мощностей всех пассивных ветвей:

При построении векторной диаграммы (рис. 3.42, б) следует учитывать:

1. Необходимо выбрать масштаб для векторов тока и напряжения . Цифры масштаба определяются конкретными величинами параметров , , , схемы;

2. Векторная диаграмма токов отражает выполнение I-го закона Кирхгофа(3.13) , т.е. диаграмма токов должна быть геометрически замкнута. Это означает для нашего случая выполнение .

3. Векторная диаграмма напряжений отражает выполнение II-го закона Кирхгофа (3.14) , т.е. диаграмма напряжений тоже должна быть геометрически замкнутой. Это означает для нашего случая выполнение , где может быть раскрыта через цепь токов или ; соответственно и (на диаграмме не приводится).

а)	б)

Рис. 3.42. Схема разветвления цепи (а), векторная диаграмма (б)

3.5.2.Расчёт цепей с несколькими источниками

Все методы, используемые для расчёта электрических цепей в режиме постоянного тока, применимы и к расчёту цепей при гармоническом воздействии. Методы наложения, узловых напряжений, контурных токов, эквивалентного генератора используются для определения реакций в цепи с несколькими источниками гармонических колебаний (см. п. 2.3).

Расчёт выполняется для символической формы записи токов, напряжений и сопротивлений цепи (см. п. 3.2).

Пример 3.15. Найдем токи и напряжения в цепи, изображенной на рис. 3.43, если заданы значения , , , ,

Во-первых, определим комплексное сопротивление параллельного соединения резистора и емкостного сопротивления :

Рис. 3.43. Схема для расчёта токов и напряжений в символической форме

Рис. 3.44. Эквивалентная схема

а)	б)

Рис. 3.45. Схемы для определения тока

Сопротивление можно представить в виде .

Получаем эквивалентную схему, изображенную на рис. 3.44.

Эквивалентное комплексное сопротивление цепи определяется как

Ом.

Ток (рис. 3.45) определяется по закону Ома:

А.

Токи и определяем по формулам разброса:

А;

А.

Следует отметить, что согласно закону токов Кирхгофа . Векторная диаграмма токов приведена на рис. 3.46.

Рис. 3.46. Векторная диаграмма токов	Рис. 3.47. Векторная диаграмма напряжений

Определим напряжения на элементах цепи (рис. 3.43):

В;

В;

В.

Согласно закону напряжений Кирхгофа векторная диаграмма напряжений замкнута (рис. 3.47)

.

Пример 3.16. Проиллюстрируем различные методы расчета на примере достаточно простой цепи, изображенной на рис. 3.48. ЭДС источника В, В, комплексные сопротивления Ом, Ом, Ом. Требуется определить токи в ветвях различными методами.

Рис. 3.48. Схема к примеру 3.16

Решение методом непосредственного применения законов Кирхгофа (см. п. 2.3.4). Цепь состоит из трех ветвей, поэтому требуется составить три уравнения, выбрав положительные направления токов в ветвях (рис. 3.48): одно по первому закону Кирхгофа

и два по второму закону Кирхгофа

;

Подставив заданные величины, получим три уравнения с тремя неизвестными:

Решив уравнения совместно, определим искомые токи:

А; А;

А.

Решение методом контурных токов (см. п. 2.3.5). Для двух внутренних контуров (ячеек) составим уравнения по второму закону Кирхгофа для контурных токов:

; .

Подставив в уравнения численные значения, получим два уравнения с двумя неизвестными контурными токами:

;

.

Решив уравнения совместно, определим значения контурных токов и токов в ветвях:

А; А;

А.

Решение методов двух узлов (см. п. 2.3.7). Напряжение между узлами a и b определим по формуле (2.21), но при комплексных значениях всех величин:

В.

Токи в ветвях найдем по закону Ома:

А;

А;

А.

Решение методом наложения (см. п. 2.3.3). Для заданной цепи (рис. 3.48) построим две вспомогательные схемы с одним источником ЭДС в каждой (рис. 3.49, а, б).

Рассчитаем токи во вспомогательных схемах при выбранных положительных направлениях.

а) Для схемы рис. 3.49, а:

А.

а)	б)

Рис. 3.49. Вспомогательные схемы к рис. 3.48

В;

А;

А.

б) Для схемы рис. 3.49, б:

А;

В;

А;

А.

Токи в заданной цепи равны алгебраическим суммам токов вспомогательных схем:

А;

А;

А.

Основные положения, изложенные в п. 3.5 материалов:

Расчет реакций цепи на гармонические воздействия с применением символической формы записи колебаний осуществляется теми же методами, что и расчет цепей постоянного тока: с помощью законов Ома и Кирхгофа; методами контурных токов, узловых напряжений, эквивалентного генератора.