2.5.3.Аналитические методы анализа нелинейных электрических цепей

Графические методы анализа НЭЦ наглядны, но они носят индивидуальный характер, т.е. не позволяют проводить обобщенный анализ НЭЦ при произвольных нелинейных элементах и видах воздействий.

Аналитические методы свободны от этого недостатка, но требуют аналитической аппроксимации ВАХ НЭ. Наиболее часто используются два вида аппроксимации ВАХ НЭ:

• полиномиальная;

• кусочно-линейная.

При полиноминальной аппроксимации ВАХ НЭ аппроксимируется полиномом вида

Коэффициенты аппроксимирующего полинома могут быть определены путем решения системы уравнений, полученной из ВAX НЭ.

Пример 2.13. Для полинома по заданной ВАХ НЭ (рис. 2.40) для трех точек ВАХ получим и два уравнения:

Из этих уравнений находим значения и .

При кусочно-линейной аппроксимации ВАХ НЭ аппроксимируется совокупностью линейных участков (кусков) вблизи возможных рабочих точек.

Рис. 2.40. ВАХ при полиноминальной аппроксимации

Пример 2.14.

Для двух участков нелинейной ВАХ (рис. 2.41) получим:

— крутизна первого участка линеаризации,

— крутизна второго участка линеаризации.

Рис. 2.41. ВАХ при кусочно-линейной аппроксимации

Пример 2.15. Пусть требуется линеаризировать участок ВАХ между точками и , который используется в качестве рабочей области около рабочей точки (рис. 2.42).

Рис. 2.42. ВАХ к примеру 2.15

Участок ВАХ НЭ заменяем "куском" прямой линии с крутизной

Тогда уравнение линеаризированного участка ВАХ вблизи рабочей точки будет:

Очевидно, что аналитическая аппроксимация ВАХ верна только для выбранного участка линеаризации.

Пример 2.16. На рис. 2.43 представлена схема соединения НЭ, ВАХ которых заданы аналитически:

для НЭ1: (2.46)

для НЭ2: (2.47)

Рис. 2.43. Схема к примеру 2.16

Определить в аналитической форме зависимость , если считать напряжение на входе схемы рис. 2.43 заданной величиной.

Решение. При последовательном соединении НЭ выполняются условия

(2.48)

Решаем совместно уравнения (2.27) и (2.28),

которое с учетом (2.29) примет вид квадратичного уравнения:

или

Решение последнего уравнения:

Из (2.28) найдем искомый ток в схеме

Пример 2.17. Имеется схема стабилизации напряжения рис. 2.44.

Рис. 2.44. Схема к примеру 2.17

Определить в аналитическом виде зависимость отношения (коэффициент стабилизации напряжения) от параметров балансного резистора и стабилитрона .

Рис. 2.45. ВАХ стабилитрона

Решение. Воспользоваться методом линеаризации. В режиме стабилизации напряжения стабилитрон работает на линейном участке его ВАХ: (рис. 2.45), при этом схема рис. 2.44 может быть заменена эквивалентной линеаризованной схемой рис. 2.46 (параметры и схемы определяется графически для линейного участка ВАХ стабилитрона).

Рис. 2.46. Эквивалентная схема стабилитрона

Для схемы рис. 2.46 справедливо уравнение так как можно записать . Продифференцировав полученное выражение по выходному напряжению, находим .

Так как в схеме стабилизации напряжения выполняется неравенство , окончательно имеем .

Коэффициент стабилизации напряжения в схеме рис. 2.44 возрастает с увеличением сопротивления балластного резистора и уменьшением дифференциального сопротивления стабилитрона.

Основные положения, изложенные в п. 2.5 материалов:

Нелинейные двухполюсные резистивные элементы (полупроводниковые и электронные диоды) характеризуются нелинейной вольтамперной характеристикой — зависимостью тока (реакции) от приложенного напряжения (воздействия). Нелинейные четырехполюсные резистивные элементы (транзисторы, электронные лампы, тиристоры) описываются семействами нелинейных вольтамперных характеристик. Сопротивление нелинейного резистивного элемента постоянному току называется статическим. Оно зависит от величины приложенного к нелинейному резистору постоянного напряжения. Сопротивление нелинейного элемента переменному току малой амплитуды называется дифференциальным или динамическим. Оно зависит от амплитуды приложенного переменного напряжения. Часто используют понятие динамической крутизны (проводимости) — это величина, обратная динамическому сопротивлению. Для определения токов в ветвях и напряжений на элементах нелинейной цепи при постоянном воздействии используют графоаналитические методы: составляют систему аналитических уравнений и решают ее графически. Часто для расчета цепей с одним нелинейным элементом используют метод эквивалентного генератора. Ток и напряжений на нелинейном элементе определяются в точке пересечения ВАХ и нагрузочной прямой эквивалентного генератора. Аналитический метод расчета нелинейных цепей требует аппроксимации ВАХ элементов, например, полиноминальный или кусочно-линейной. Если вольтамперные характеристики нелинейных элементов заданы аналитически, то для расчета цепи составляют систему уравнений состояния цепи и решают ее аналитически или численными методами.