2.3.7.Метод двух узлов (частный случай метода узловых напряжений)

Этот метод применяется для расчета электрических цепей с двумя узлами, между которыми включены активные и пассивные ветви (рис. 2.19). Идея метода состоит в том, что по расчетной формуле определяется напряжение между узлами, называемое узловым напряжением , а затем по закону Ома рассчитываются токи в ветвях.

Рис. 2.19. Схема параллельного соединения

Выведем формулу для расчета узлового напряжения. Положительные направления токов в ветвях выберем от узла к узлу . Напряжение — узловое напряжение, общее для всех ветвей схемы.

Запишем первый закон Кирхгофа для узла . Подставляя значение токов в ветвях, имеем

или

Напряжение между узлами

или в общем виде

(2.40)

Если ЭДС направлена к узлу, обозначенному первым индексом (а), то произведение записывается со знаком плюс, если от узла — со знаком минус независимо от положительных направлений токов. Если в ветви нет ЭДС, то произведение . Методом двух узлов легко решаются любые схемы с параллельным соединением.

Пример 2.6. Решить пример 2.3 методом двух узлов.

Решение. Рассчитаем проводимость ветвей (см. рис. 2.16).

Узловое напряжение (положительное направление от узла к узлу ) равно (2.21):

Токи в ветвях:

2.3.8.Метод эквивалентного генератора (активного двухполюсника)

Метод эквивалентного генератора дает возможность часть сложной электрической цепи с источниками энергии и двумя выделенными выводами, т.е. активный двухполюсник (рис. 2.20, а), заменить эквивалентным генератором, ЭДС которого равна напряжению холостого хода на выводах двухполюсника и внутренне сопротивление — входному сопротивлению двухполюсника. Если в активный двухполюсник входят все элементы схемы, кроме одного выделенного сопротивления , то можно найти ток в этом сопротивлении. Поэтому метод эквивалентного генератора рационально применять, если необходимо найти ток в одной ветви сложной электрической цепи, не рассчитывая токи в других ветвях.

Рис. 2.20. Активный двухполюсник

Доказательство метода. В сложной электрической цепи (рис. 2.20 а), показанной в виде активного двухполюсника A с выделенным участком, сопротивление которого , требуется найти ток . Включим последовательно с сопротивлением два источника ЭДС: и (рис. 2.20, б), с напряжениями, равными напряжению между выводами и активного двухполюсника при отключенном сопротивлении , т.е. в режиме холостого хода , и направленным навстречу друг другу. Ток при этом не изменится.

В соответствии с принципом наложения схему рис. 2.20, б можно представить в виде двух вспомогательных схем, в одной из которых действует источник ЭДС и все источники внутри активного двухполюсника (рис. 2.20, в), а в другой — (рис. 2.20, г) действует только источник ЭДС , а источник и все источники в активном двухполюснике не действуют, т.е. активный двухполюсник становится пассивным.

По принципу суперпозиции (наложения) (см. п. 1.5.1) ток равен сумме частичных токов вспомогательных схем: . Так как , то вспомогательной схеме рис. 2.20, в частичный ток равен нулю, что следует из закона Ома: , следовательно, частичный ток (рис. 2.20, г) равен искомому току . По закону Ома

(2.41)

где — внутреннее или входное сопротивление пассивного двухполюсника, т.е. сопротивление пассивного двухполюсника (рис. 2.20, г) относительно выводов и . Такой же ток будет и в схеме (рис. 2.20, д), если и . Ток в сопротивлении исходной системы (рис. 2.20, а) и в схеме (рис. 2.20, д) один и тот же, т.е. активный двухполюсник можно заменить эквивалентным генератором.

Порядок расчета. Для расчета тока в сопротивлении следует сначала отключить это сопротивление и определить напряжение на его выводах. Далее нужно исключить все ЭДС в оставшейся части схемы (внутреннее сопротивление источников остаются) и найти ее сопротивление относительно выводов отключенного сопротивления. Наконец, по (2.22) рассчитать искомый ток.

Пример 2.7. Для схемы по рис. 2.21 заданы ЭДС и сопротивления: Найти ток в ветви с сопротивлением _.

Рис. 2.21. Схема к примеру 2.7

Решение. В соответствие с порядком расчета отключим сопротивление и найдем напряжение (рис. 2.21, б) по 2.21:

Входное сопротивление между выводами и при исключенных ЭДС и (рис. 2.21, в), (сопротивление и включены параллельно).

Ток

В заключении отметим, что все рассмотренные методы расчета цепей постоянного тока применимы к цепям с изменяющимся во времени токами, и будут широко использоваться в главах 3, 4 и т.д.

Основные положения, изложенные в п. 2.3 материалов.

Метод наложения заключается в составлении всех частичных схем, содержащих только по одному источнику электрической энергии, расчете частичных токов в ветвях этих частичных схем и затем алгебраическом суммировании соответствующих частичных токов. Метод непосредственного применения законов Кирхгофа требует составления системы линейных независимых уравнений по законам токов и напряжений Кирхгофа и решения этой системы относительно токов в ветвях цепи. Недостатком метода является большое число уравнений для сложных схем. Методы контурных токов и узловых напряжений (потенциалов) позволяют уменьшить количество уравнений в системе по сравнению с методом токов ветвей. В методе контурных токов составляется система линейных уравнений для независимых контуров цепи, а в методе узловых напряжений (потенциалов) — для независимых узлов цепи. Метод эквивалентного генератора применяется для расчета тока только в одной ветви цепи. Ток в этой ветви рассчитывается по напряжению холостого хода на разомкнутой ветви или току короткого замыкания в закороченной ветви, величине эквивалентного сопротивления схемы относительно зажимов ветви и величине сопротивления ветви с использованием закона Ома.