2.3.6.Метод узловых напряжений

Метод узловых напряжений (потенциалов) основан на законе токов Кирхгофа и законе Ома и позволяет уменьшить количество уравнений в системе до . Порядок расчета токов в ветвях цепи следующий:

1. Произвольно выбирают направление токов в ветвях;

2. Заземляют один из узлов (любой, называемый базисным); его потенциал поэтому становится равным нулю.

3. Составляют систему линейных независимых уравнений для узлов цепи по I закону Кирхгофа порядка . Решение данной системы позволяет найти напряжения (разность потенциалов) между узлами.

4. Используя законы Ома для пассивного и активного участков цепи, находят токи в ветвях исходной схемы.

Рассмотрим применение метода узловых напряжений для расчета токов ветвях цепи, изображенной на рис. 2.15 (на этой схеме, также изображенной на рис. 2.15, рассмотрены примеры расчета методами непосредственного применения законов Кирхгофа и контурных токов).

Направление токов в ветвях выбираем произвольно. Заземляем любой узел, например, «0» (базисный узел). Это означает, что его потенциал равен нулю: .

Для узлов 1, 2 и 3 составляем систему независимых уравнений по I закону Кирхгофа порядка .

В канонической форме записи система уравнений имеет вид

(2.37)

В уравнениях (2.18) использованы обозначения: , , — потенциалы узлов 1, 2 и 3 цепи;

Определяем коэффициенты системы:

— получил название собственная проводимость узла, равная сумме проводимости ветвей, примыкающих к узлу;

— получил название взаимная проводимость узлов, равная сумме проводимостей ветвей, включенных между и узлами;

— получил название узловой ток, равный сумме произведений ЭДС на проводимость ветвей .

При составлении уравнений пользуются правилами знаков: собственные проводимости всегда берутся со знаком «плюс», взаимные проводимости всегда берутся со знаком «минус», узловые токи источников берутся со знаком «плюс», если ЭДС направлены к узлу, и со знаком «минус» — если от узла.

Подставляем найденные коэффициенты в систему (2.18) и получаем уравнения по первому закону Кирхгофа:

(2.38)

Решив уравнения (2.19) совместно используя, например, аппарат алгебраической матрицы, определяем электрические потенциалы , и .

Зная потенциалы узлов, находим токи в ветвях цепи рис. 2.15, Используя законы Ома (2.1) и (2.5) находим токи в ветвях

Если использование закона Ома для пассивных цепей не вызывает вопросов, то закон Ома для активных ветвей требует комментариев из возможной разнонаправленности

На рис. 2.17 приведена схема активной ветви. Используя II закон Кирхгофа имеем:

откуда

(2.39)

Рис. 2.17. Активная ветвь	Рис. 2.18. Схема к примеру 2.5

Выражение (2.20) и есть закон Ома для активной цепи, при использовании которого следует учесть, что в виде (2.20) закон записан для направлений векторов рис. 2.17. При изменении направления какого-либо из векторов, необходимо менять знак перед соответствующей величиной в (2.20).

Пример 2.5. Выбрать метод и рассчитать схему рис. 2.18.

Дано: .

Решение. Выбираем метод, учитывая сложность расчета. Число ветвей число узлов . Метод непосредственного применения законов Кирхгофа требует расчета уравнений; метод контурных токов – уравнения; метод узловых напряжений – уравнения.

Используем для расчета метод узловых напряжений, как наиболее простой. Выберем произвольное напряжение токов в ветвях. Заземлим потенциал узла 3 и запишем систему уравнений второго порядка.

Вычислим коэффициенты системы:

Подставив выше найденные коэффициенты в систему и вычислим потенциалы узлов:

Найдем токи в ветвях, используя законы Ома:

Меняем направления токов , , на рис. 2.18 на противоположное (стрелки пунктиром) и делаем вывод по режиму работы ЭДС: — потребитель энергии; — источник энергии; — источник энергии; — потребитель энергии.

Составим баланс мощности:

Баланс сошелся, и задача решена правильно.