2.3.5.Метод контурных токов

Это широко распространенный метод расчета сложных электрических цепей с несколькими контурами и несколькими источниками электрической энергии. В основе метода лежат законы Кирхгофа и два предположения: в каждом контуре протекают независимые друг от друга расчетные токи, называемые контурными, а ток каждой ветви равен алгебраической сумме контурных токов, замыкающихся через эту ветвь.

При этих предположениях оказывается, что для расчета схемы достаточно ограничиться составление уравнений для контурных токов только по второму закону Кирхгофа, так как для контурных токов только по второму закону Кирхгофа, так как для контурных токов первый закон выполняется в силу принятых для контурных токов первый закон выполняется в силу принятых для контурных токов предположений (контурный ток в одной из ветвей контура направлен к узлу, а в другой — от узла). Следовательно, вместо уравнений при непосредственном применении законов Кирхгофа достаточно составить уравнений, что значительно упрощает расчет.

Порядок расчета токов в ветвях цепи следующий:

Произвольно выбирают направления токов ветвях.
Выбирают независимые контуры, а затем задают направления условных токов, который называют контурными токами.
Для каждого из выбранных контуров составляют систему линейных независимых уравнений по закону напряжений Кирхгофа порядка . Решение этой системы уравнений позволит найти все контурные токи.
Определяют токи в ветвях исходной цепи как алгебраическую сумму контурных токов, протекающих по этой ветви.

Поясним метод на примере схемы рис. 2.15. Выше для этой схемы было получено, что . Выделим для этой схемы три независимых контура (I, II, III) с контурными токами . Направление контурных токов можно выбрать произвольно, но для единообразия последующих формул и расчетов следует (если возможно) задавать контурным токам направления, совпадающие с направлениями обхода контуров (в данном случае с направлением движения часовой стрелки).

В канонической форме записи составляем систему уравнений для контурных токов порядка :

(2.35)

Определяем коэффициенты системы:

— получил название контурное (собственное) сопротивление, равное сумме сопротивлений, включенных в контур;

— получил название межконтурное (взаимное) сопротивление, равное сумме сопротивлений между и контурами;

— получил название контурное ЭДС, равное алгебраической сумме ЭДС включенных в контур.

При составлении уравнений (2.16) пользуются правилами знаков: собственное сопротивление всегда берется со знаком "плюс"; взаимное сопротивление берется со знаком "плюс", если контурные токи протекают через него в одном направлении, и со знаком "минус" — если в разных направлениях; напряжение источника в правой части (2.16) берется со знаком "плюс", если его направление противоположно направлению контурного тока, и со знаком "минус" — если совпадает с ним.

Подставляем найденные коэффициент в систему (2.16) и получаем

(2.36)

Так как направление обхода контура совпадает с направлением тока в этом контуре, то падения напряжения от этого тока записывается со знаком плюс. В общих ветвях ток смежного контура направлен противоположно току контура, поэтому падение напряжения от тока смежного контура записывается со знаком минус.

Решив уравнения (2.17), используя найденные меры аппарата алгебраической матрицы, совместно определим контурные токи . Токи ветвей равны алгебраическим суммам контурных токов. При этом знаки у контурных токов определяем по следующему правилу: если направление контурного тока совпадает с направление тока ветви, то он записывается со знаком плюс, если не совпадает — со знаком минус.

Токи ветвей: ; ; ; ; ; .

Пример 2.4. Решить пример 2.3 методом контурных токов.

Решение. Выберем независимые контуры (рис. 2.16) — внутренние контуры (ячейки) схемы, положительные направления контурных токов примем совпадающими с направлением обхода контуров. Составим уравнения по второму закону Кирхгофа для контурных токов с коэффициентами: ; ; ; ; ; ; ; ; .