73. Понятие транспортной сети. Сущность и алгоритм поиска кратчайших маршрутов на транспортной сети. Постановка и алгоритм решения тз в сетевой постановке

Транспортная сеть - это формализованное представление ре­альной транспортной системы в виде набора элементов двух типов: вершин (железнодорожных станций, городов, пунктов отправления, назначе­ния) и дуг (железных или автомобильных дорог). Будем обозначать вершины индексами i и j, где индекс - это число (порядковый номер вершины), однозначно определяющий вершину. Дуги обозначим номерами вер­шин, которые соединяет эта дуга. Так как дуга (линия) может соединять не более двух вершин, то она однозначно определяется двумя индексами (i,j) или просто ij. Каждая дуга имеет свою оценку, которая определяет длину дуги (расстояние между вершинами) или затраты при движении по дуге. Обозначим оценку дуги как р_ij. Оценка каждой ду­ги в общем случае задается дробью. Числитель дроби является оценкой дуги, начало которой имеет меньший номер, чем конец, а знаменатель ­это оценка встречной дуги.

Маршрут движения по транспортной сети - это последователь­ность вершин, проходимых по транспортной сети при движении от на­чальной вершины (пункта отправления) до конечной вершины (пункта на­значения). Обозначается маршрут путем перечисления номеров вершин, Т.е. S_i1,in[i₁, i₂, ... ,i_n].

Длина (оценка) маршрута - это сумма длин (оценок) дуг, входя­щих в маршрут. Любой маршрут характеризуется длиной. Например длина маршрута S_3,8 будет равна сумме оценок дуг (З;2) и (2;8), т.е. Р_З8=Р_З2+Р₂₈=2+2=4.

Оптимальный (кратчайший, дешевый) маршрут - это такой маршрут от заданной начальной до конечной вершины маршрута, что не существует другого Маршрута с меньшей длиной между этими вершина­ми. Например, если внимательно изучить схему (рис. 8.1), то будет понят­но, что не существует пути из вершины 3 в вершину 8 короче, чем маршрут S_3,8[З,2, 8] с длиной Р_З8=4.

Потенциал вершины j - сумма оценок дуг, входящих в маршрут движения от начальной вершины до j-ой. Например, для маршрута S_3,8 [З,2,8] потенциал вершины 3 р_з=0, вершины 2 р₂=р_З+р_З2=0+2=2, а для конеч вершины маршрута р₈=р₂+р₂₈=2+2=4.Что потенциал конеч вершины маршрута будет равен длине маршрута.

Задача отыскания кратчайших маршрутов от одной или нескольких заданных точек строится на простой идее сравнения альтернативных пу­тей до вершины сети и выбора наиболее коротких. В качестве иллюстра­ции рассмотрим простой пример. Пусть задана транспортная сеть (рис. 8.2), состоящая из трех вершин.

Р ис. 8.2. Требуется определить кратчайшие маршруты от первой вершины до второй и третьей вершин. Предположим, что такими маршрутами яв­ляются S_1,2[1,2] и S_1,З[1,3]. Оценки этих маршрутов соответственно равны 10 и 1. Такие же значения потенциалов будут иметь и конечные вершины маршрутов, Т.е. p₂=10, р₃=1. Если продолжать движение из вершины 2 в вершину 3, то для такого маршрута потенциал конечной вершины 3 будет равен 18 (S₁,₂[1,2,З], р₃=18). Следовательно, маршрут от вершины 1 до вершины 3 через вершину 2 будет длиннее (дороже) прямого маршрута из вершины 1. С другой стороны, если будем двигаться в вершину 2 через вершину 3, то оценка такого маршрута будет равна 9. Делаем вывод, что кратчайший путь в вершину 2 будет проходить через вершину З. В итоге получаем единственную конечную вершину на сети - точка 2 и единст­венный оптимальный маршрут S_1,2[1,3,2], p₂=9.

Таблица оптимальных путей (ТОП) на транспортной сети - это табличное представление всех оптимал. путей от одной или нескольких заданных вершин до всех остальных вершин транс­портной сети.

Алгоритм построения ТОП состоит из следующих действий:

1. заполнить первый и второй столбцы ТОП номерами вершин транспортной сети в порядке их возрастания. Во втором столбце одну или несколько начальных вершин пометить, на­пример, знаком минус перед номерами вершины. Третий стол­бец заполнить исходными потенциалами вершин. Исходные потенциалы начальных вершин равны нулю, а всех остальных вершин - числуМ, или максимально большому числу;

2. для всех дуг, исходящих из помеченной вершины, проверя­ется условие оптимальности дуги p_}. - p_i > p_tj, то есть раз­ность потенциалов конечной и начальной вершин дуги долж­на быть больше оценки дуги между этими вершинами. Вы­полнение этого условия говорит о выгодности движения по данной дуге. Тогда в качестве предшествующей вершины для конечной вершины дуги (второй столбец ТОП) указыва­ется номер вершины i (с пометкой). Потенциал конечной вершины определяется как сумма потенциала начальной вершины дуги и оценки этой дуги, то есть p_}. = p_i + p_tj;

3. если условие оптимальности дуги не выполняется, то прове­ряется следующая дуга, исходящая из помеченной вершины;

4. если условие оптимальности проверено для всех дуг, исхо­дящих из помеченной вершины, то метка с этой вершины снимается, и рассматриваются дуги, исходящие из любой следующей помеченной вершины. Затем все действия, на­чиная со второго, повторяются. Построения оптимальных маршрутов повторяются до тех пор, пока в ТОП имеется хо­тя бы одна помеченная вершина.

Транспортая задача линейного программирования в сетевой постановке

В ТЗЛП в сетевой постановке учитываются реальные транспорт­ные связи между поставщиками и потребителями, поэтому в ре­зультате ее решения получается не просто оптимальный план перевозок, но и план распределения транспортных потоков по дугам транспортной сети. Очевидно, что максимальные по мощности транспортные потоки должны проходить по дугам, имеющим ми­нимальную оценку, то есть по наиболее коротким и дешевым транспортным коммуникациям

Невязка — это величина избытка или недостатка груза, определяемая с учетом объемов производства или потребления в вершине транспортной сети за вычетом объемов отправления и с добав­лением величины объема прибытия грузов. Другими словами исходящие грузопотоки уменьшают величину не­вязки в i-й вершине, входящие — увеличивают. Например, ве­личина невязки в вершине будет равна -25, так как, являясь поставщиком продукции в размере 15 единиц, принимает 345 единиц транзитных грузов и отпр-ет 385 единиц. Получаем Q=15+345-385= -25, т.е. в данной вершине им. недостаток грузов.

Алгоритм решения ТЗЛП в сетевой постановке методом сокраще­ния невязки состоит из следующих действий:

1) построить таблицу оптимальных путей для заданной транс­портной сети. В качестве начальных вершин принимаются все вершины-поставщики

2) по найденным маршрутам транспортной сети распределить транспортные потоки так, чтобы полностью удовлетворить спрос всех вершин-потребителей. После этого объемы спроса в вершинах-потребителях должны быть равны нулю, а объем производства в вершине-поставщике может остаться поло­жительным, стать нулевым или отрицательным. То есть по­ставщик может превратиться в потребителя;

3) скорректировать систему оценок дуг транспортной сети, за­груженных перевозками. Для этого делается отрицательной оценка дуги, направленной навстречу транспортному потоку.

4) повторять предыдущие действия до тех пор, пока величина невязки плана перевозок не станет нулевой, то есть когда все объемы производства и потребления не компенсируются транспортными потоками.