Выбор частоты отчетов по критерию наибольшего отклонения

Трудности практической реализации методов Котельникова и Железнова обуславливается необходимость использования в ряде случаев других методов выбора требуемой частоты квантования сигналов по времени . В тех случаях , когда закон изменения непрерывной функции с определенной достоверностью известен (детерминированные сигналы) используются методы замены исходной функции аппроксимирующим полиномом , который в (n+1) точках совпадает с исходной функцией в моменты времени t_i. При этом интервалы временного квантования должны выбираться таким образом , чтобы в их пределах максимальная величина или среднеквадратическое значение отклонения аппроксимирующей функции от исходной не превышали допустимых значений .

На практике наиболее часто применяется ступенчатая , кусочно-линейная и реже параболическая аппроксимация . Следовательно , должно выполняться условие , чтобы отклонение аппроксимирующего полинома y(t) от исходной функции x(t) не превышала бы заданной (максимальной) погрешности восстановления

|δ_в|_max = |y(t) - x(t)| .

В качестве аппроксимирующих полиномов выбираются полиномы Лагранжа или для равномерного шага квантования полиномы Ньютона.

Задачу можно решить с помощью полинома Ньютона , в соответствии с которым значение функции для любого момента времени внутри интервала (t_i+1 - t_i)=∆t определяется выражением y(t)=x(t_i) + [x(t_i+1) - x(t_i)] ,

где  = .

При этом погрешность восстановления определяется остаточным членом (1.30)

|y(t)-x(t)|=R(t)=σ_в  [|x_maxⁿ⁺¹(t)| / (n+1)!] *(t-t_i)(t-t_i+1) . . . (t-t_n) = , (1.50)

где M_n+1 - модуль максимума (n+1) производной .

При этом при :

n=0 - ступенчатая аппроксимация ;

n=1 - линейная аппроксимация;

n=2 - параболическая аппроксимация;

Для ступенчатой аппроксимации остаточный член σ_вс составляет

σ_вс= M₁ (t-t_i) (1.51)

Очевидно максимальная погрешность

|σ_вс|_max = |y(t)-x(t)| = M₁∆t (1.52)

при значении  =

Интервал дискретизации для заданной |σ_вс|_max равен

∆t= (1.53)

Значение модуль максимума |x^(k)(t)|_max производной k-го порядка можно найти пользуясь неравенством Бернштейна. Значение первой производной

|x^k(t)|_max  ω_c^k |x(t)|_max , (1.54)

где (k = 1 , 2 , ... , n) -степень ;

ω_c - наивысшая частота сигнала ;

| x(t) |_max - максимальное значение функции.

Исходя из этого , ∆t = .

Значение интервала дискретизации ∆t для значений максимальной относительной погрешности γ_max равно ∆t =.

При интерполяции погрешность γ_max для того же интервала ∆t что и , при экстраполяции будет в два раза меньше .

Аналогично вычислим значение интервала ∆t при заданной максимальной погрешности восстановления |σ_вл|_max для кусочно-линейной интерполяции .

Остаточный член , а , следовательно , и погрешность σ_вл будет иметь вид

(1.55)

Следовательно , |σ_вл|_max = |y(t)-x(t)|= - M₂∆t² , (1.56)

для max (χ(χ-1))= 2χ-1

Откуда ∆t = (1.57)

Определим значение M₂ воспользовавшись (1.54) , тогда

, (1.58)

Соответственно значение ∆t через заданную максимальную относительную погрешность γ_max

∆t = (1.59)

При экстраполяции для одного и того же шага дискретизации ∆t погрешность |σ_вл|_max будет в 4-е раза больше . Однако техническая реализация значительно проще .

Параболическая аппроксимация технически реализуется сложнее чем приведенные выше методы . Интервал дискретизации для заданной максимальной погрешности |σ_вп|_max будет равен

∆t = (1.60)

Для сравнения различных методов восстановления исходной функции по дискретным отсчетам для заданной максимальной погрешности восстановления |σ_в|_max определим частоту преобразования сигнала n= .

Например , возьмем простейший сигнал в виде синусоиды x = x_maxsinωt .

Для ступенчатой аппроксимации n=628 преобразований на период , для линейной - n=22 , для параболической n=12 , для метола Котельникова n=2021 . По предельной теореме Котельникова достаточно n=2 (однако это чисто теоретически)

Из ортогональных систем восстановления непрерывных функций по дискретным отсчетам наиболее просто реализуются разложение в ряд Фурье с коэффициентами Фурье-Уолша.