1.8 Равномерная дискретизация

При равномерной дискретизации шаг ∆t и частота F₀ является постоянными величинами. Точки отсчётов t_i в этом случае равномерно размещены по оси t.

Устройства, с помощью которых производится дискретизация, носят название дискретизаторов.

Функциональная схема дискретизатора показана на рисунке 1.13.

x(t) Д

ИЛИ Пx(t_i)

ГИ УУ

Рис.1.13. Функциональная схема дискретизатора (Д).

На рис. 1. 13. соответственно обозначены:

ИИ – источник сигнала;

П – преобразователь;

ГИ – генератор импульсов;

УУ – устройство управления.

Дискретизатор можно рассматривать как прерыватель исходного сигнала x(t). Генератор импульсов выдает на вход прерывателя исходную последовательность импульсов, в результате чего входной сигнал x(t) преобразуется в последовательность дискретных выборок сигнала x(t_i). Работа генератора импульсов определяется устройством управления. При равномерной дискретизации частота импульсов генератора остается неизменной.

Выбор частоты отсчётов по теореме Котельникова. Если непрерывная функция x(t) удовлетворяет условиям Дерихле (ограничена, кусочно-непрерывная и имеет конечное число экстремумов) и ее спектр ограничен некоторой частотой ω_c, то существует такой максимальный интервал ∆t между отсчётами, при котором имеется возможность безошибочно восстановить дискретизируемую функцию x(t) по дискретным отсчётам. Этот максимальный интервал равен:

, (1.39)

где f_m – максимальная частота в спектре сигнала x(t).

В этом случае функция x(t) может быть восстановлена без погрешностей по точным значениям выборок x(t_i) в виде (1.37) ряда Котельникова.

Как видно из этого выражения функция x(t) представляется суммой произведений, один из сомножителей которой есть выборка функции, а другой – так называемая функция отсчётов (рис.1.14).

(1.40)

φ(t)

к∆t t

(к-2)∆t (к-1)∆t (к+1)∆t (к+2)∆t

Рис.1.14. Функция отсчётов с ФНЧ

Свойства функции отсчётов:

1. в момент времени к∆t она достигает своего наибольшего значения, равного единице;

2. в моменты времени, кратным ∆t, т.е. в момент , гдеi – любое целое положительное число, функции φ(t) обращается в нуль;

3. функции отсчётов ортогональны с весом единица на бесконечность большом интервале времени.

Функция отсчётов представляет собой реакцию идеального фильтра нижних частот с верхней граничной частотой ω_m, когда на вход фильтра поступает δ - импульс с амплитудой, соответствующей значениям непрерывной функции в точках отсчёта следующих друг за другом с периодом ∆t. Идеальный фильтр физически не реализуем. Время реакции фильтра вырастает с увеличением крутизны среза на граничной частоте.

Для идеального фильтра крутизны среза бесконечно велика, поэтому такой фильтр должен обладать бесконечно большим запаздыванием реакции.

На рис.1.15 показана некоторая функция x(t) с ограниченным спекртом и отдельные функции отсчётов (1-39) с максимальными ординатами x(к∆t), а все остальные равны нулю. Сложение всех составляющих дает исходную функцию x(t).

φ(t)

t

φ(t) к=1

при к=1

t

φ(t)

к=2

при к=2

t

φ(t)

при к=3 к=3

t

φ(t)

к=4

при к=4t

Рис.1.15 Представление непрерывной функции с помощью функции отсчётов

Особое значение теоремы Котельникова состоит в том, что она позволила заменить передачу непрерывных сообщений дискретными. На приемной же стороне для восстановления сигнала станится фильтр нижних частот.

Однако теорема Котельникова относится к сигналам с ограниченным спектром, т.е. при выводе ряда Котельникова (1.37) предполагалось, что функция x(t) удовлетворяет условиям Дерихле. Это не дает использовать полученный результат для функций, не стремящихся у нулю при , или для функций, не интегрируемых на интервале (а,b), .

Реальные сигналы, являющиеся носителями информации имеют конечную длительность, то есть спектр их не ограничен. Поэтому применение теоремы Котельникова к реальным сигналам связано с погрешностями при восстановлении сигналов по формуле (1.37) и неопределенностью выбора шага дискретизации ∆t или частоты отсчётов F₀=2f_m.

Для практических условий идеально точное восстановление функций не требуется. В этом случае задается допустимая погрешность. Поэтому теорему Котельникова можно рассматривать как приближенную для функций с неограниченным спектром.

При этом следует отметить, что представление функции в виде дискретных отсчетов через промежуток времени не позволяет воспроизводить процесс развивающийся во времени.

Пусть, например, на интервалеT непрерывная функция времени восстанавливается по своим n отсчётом n=2fT (рис.1.16, а).

x

x(T+∆t)

∆t a)

t

x

x(T+∆t)

б)

t

Рис.1.16. изменение восстановленной функции при дополнительных отсчётах

Если теперь вне интервала получен хотя бы один дополнительный отсчёт, то при восстановлении изменяется вся непрерывная функция на всем предшествующем интервале T (за исключением отсчётных значений x(к∆t)). Таким образом, получение новых данных изменяется непрерывную функцию параллельно прошлой.

Как указывается выше, получение функции отсчётов сопряжено с использованием фильтра нижних частот. Причем функция воспроизводится тем точнее, чем ближе используемый фильтр к идеальному. Но чем ближе фильтр к идеальному, тем больше запаздывание сигнала при восстановление.

При этом, как видно из выражения (1.37) для точного восстановления исходной функции необходимо получить и просуммировать реализации фильтра на всей оси времени от доили хотя бы достаточно большого количества импульсов до и после аппроксимируемого участка функции.

Практически реализовать это будет трудно. Далее, функции отсчётов, генерируемые фильтром нижних частот, должны иметь бесконечную протяженность во времени как для положительных, так и для отрицательных значений t. Такие фильтры физически неосуществимы.

Для использования теоремы Котельникова для сигналов, изменяющихся вот 0 до , их ограничивают некоторым диапазоном частот от 0 до ω_с, в котором сосредоточена наибольшая часть спектра (рис.1.17).

δ(ω)

ω

ω_с

Рис.1.17. Спектральная плотность реального сигнала, изменяющего от 0 до

Энергия отсекаемой части спектра сигнала характеризует погрешность, возникающую за счет ограничений спектра частотой ω_с. Эта погрешность оценивается отношением энергии, содержащейся в отсекаемой части спектра, к общей энергии сигнала.

(1.41)

Погрешность в реальных расчетах удобнее использовать в приведенных значениях. Тогда дисперсия приведенной погрешности.

, (1.42)

где - средняя мощность отсекаемой части частотного спектра;

Т_с – длительность сигнала; x_max, x_min – предельные значения x(t), описывающего сигнала.

Дисперсию приведенной погрешности удобнее представить через среднюю мощность сигнала

,

погрешность .

Тогда

(1.43)

Из выражения (1.42) по заданной величине D_ωc и при известных значениях P_T, x_max, x_min и спектре функции x(t), можно определить частоту ω_с , ограничивающую спектр.

На практике при исследовании функций с неограниченным спектром, частоту отсчётов определяют по формуле

F₀=к₃2f_c , (1.44)

где к₃ – коэффициент запаса, обычно ;

f_c – принятая из некоторых соображений частота в спектре сигнала x(t), например, с учетом полной энергии, сосредоточенной в ограниченном частотой спектре сигнала (рис.1.17).

Известна математическая модель, предложенная Железновым, в основе которой лежат следующие допущения:

• сигнал x(t) представляет собой недетерминированный стационарный или квазистационарный процесс;

• длительность сигнала T_c конечная;

• спектр сигнала сплошной и отличен от нуля; на всей полосе частот;

• интервал корреляции сигнала ∆₀<<T_c;

• функция корреляции равна нулю вне интервала ∆;

• мгновенная мощность сигнала ограничена и не может изменяться скачком.

Так как сигнал предполагается случайным, ограниченным по времени и обладает неограниченным спектром, то модель Котельникова.

Единственное ограничение в этой модели является ограничения, накладываемые на функцию корреляции, так как предполагается, что к(τ) при τ>τ₀.

В модели Железнова доказано, что стационарный или квазистационарный сигнал с неограниченным спектром определяется со сколь угодно малой погрешностью последовательностью его мгновенных значений, следующих друг за другом через интервалы ∆t, если ∆t <<τ₀, а длительность сигнала τ₀<<T_c.

Ряд применительно к критерию Железнова представляется в виде.

(1.45)

В этом случае шаг дискретизации для стационарных случайных процессов выбирается равным интервалу корреляции к_хх(τ). Интервал корреляции можно определить через автокорреляционную функцию.

(1.46)

Для нестационарных случайных процессов вводится понятие текущего интервала корреляции τ₀(t), причем справедливо такое соотношение

, (1.47)

где ∆f_эф(t) – эффективная полоса частот мгновенной спектральной плотности и точностью до постоянного множителя.

Естественно, что некоррелированные отсчёты для нестационарной, случайной функции располагаются неравномерно по оси времени.

Для оценки погрешности, возникающей вследствие допущения, что вне интервала корреляции τ₀ функция корреляции равна нулю, можно воспользоваться

τ₀ = ,

устанавливается связь между интервалом коррекции и эффективной шириной спектра процесса . Из этого выражения можно определить

ω _э =

Тогда искомая погрешность может быть определена отношением

γ_ωэ =

Примечание : под эффективной или эквивалентной шириной спектра принято принимать ширину полосы частот , в пределах которой сосредоточена 95 мощности процесса . Однако при анализе случайных процессов , характеризуемых неравномерным спектром с явно выраженным максимумом.

S ( ω )

S(ω)_max

ω

ω_эф

Рис.1.18. Спектральная плотность случайного процесса с явно выраженным максимумом.

Часто пользуются понятием эффективной ширины спектра , определяемой выражением

ω_э = =, (1.48)

где S(x)_max - наибольшее значение функции спектральной плотности ;

k(0)= - корреляционная функция процесса при τ=0, выражающая мощность случайного процесса .

Интервал корреляции может быть определен как

τ₀ = = (1.49) ,

где S(0) значение спектральной плотности при ω=0 (рис. 1.18)

Графически эффективная полоса частот представляет собой основание прямоугольника с высотой σ(ω)max и площадью равной площади , ограниченной кривой спекральной плотности сигнала и осями координат (рис.1.18)

В заключении можно отметить , что корреляционный критерий выборов отчетов является разновидностью частотного критерия Котельникова , так как интервал отчетов равен интервалу корреляции τ₀ = .

Таким образом, отчеты по теореме Котельникова представляют собой ближайшие некоррелированные значения сигнала.

Хотя теорема Котельникова базируется на модели сигнала с ограниченным спектром , она имеет большую теоретическую и практическую ценность в технике преобразования сигнала их передачи и обработки.