2.3 Систематические коды с обнаружением ошибок.

Систематические коды в настоящее время представляют наиболее широкий класс корректирующих кодов. Эти коды относятся к группе разделимых блочных кодов. При построении систематических кодов значения проверочных символов подбирается так, чтобы сумма по модулю два всех символов (включая проверочный), входящих в каждое из равенств, равнялась нулю. В таком случае число единиц среди этих символов четное. Поэтому операции определения символов опознавателя называют проверками на четность. При отсутствии ошибок в результате всех проверок на четность образуется опознаватель, состоящий из одних нулей. Если проверочное равенство не удовлетворяется, то в соответствующем разряде опознавателя появляется единица.

В начале рассмотрим некоторые виды систематических кодов с обнаружением ошибок.

Код с четным числом единиц.

Этот код образуется за счет добавления к разрешенным кодовым комбинациям одного избыточного символа (1 или 0) так чтобы в кодовой комбинации число единиц было четным. Код обнаруживает ошибки нечетной кратности 1,3,5 и т.д.

Коэффициент избыточности кода в этом случае

.

Вероятность r – кратной ошибки в кодовой комбинации определяется в соответствии с выражением (2.14).

Так обнаруживаются ошибки нечетной кратности, то вероятность обнаруживаемых ошибок будет равна

Пренебрегая малыми величинами вероятности, начиная с тройной, получим

(2.18)

Вероятность появления всех ошибок, как обнаруживаемых, так и не обнаруживаемых, т.е. вероятность неправильного приема Р_нп составляет

Р_нп=1-(1-Р_э)ⁿ (2.19)

Тогда коэффициент обнаружения

(2.20)

Код не обнаруживает ошибки четной кратности. Вероятность таких ошибок Р_чо определяется

Учитывая, что повышением кратности ошибок вероятность появления их резко падает, примем

(2.21)

Тогда помехоустойчивость кода будет определяться

(2.22)

Равномерный код.

Равномерный код образуется за счет постоянного соотношения «1» и «0» в кодовой комбинации. Например, возьмем семиэлементный код с соотношением «1» и «0» равным ¾ т.е. код 3 из 7 (табл. 2.4)

Таблица 2.4

1	2	3	4	5	6	7
1 0 0 . .	0 1 0 . .	1 0 1 . .	0 1 0 . .	1 0 1 . .	0 0 1 . .	0 1 0 . .

Количество кодовых комбинаций, которое может быть использовано при передачи составит:

где n – число разрядов; n₁ – число единиц кодовой комбинации; n₀ – число нулей в кодовой комбинации.

Коэффициент избыточности для данного кода можно определить, пользуясь выражением:

(2.23)

Для приведенного примера:

Такой код позволяет обнаруживать все одиночные, двойные, тройные и т.д. ошибки, кроме тех случаев когда число переходов из 1 в 0 равно числу переходов из 0 в 1. Однако вероятность таких ошибок мала.

Вероятность искажения одной из трех единиц равна:

Вероятность искажения одного из нулей:

Пренебрегая малой вероятностью искажения сразу двух «0» и двух «1» и более получим вероятность появления не обнаруживаемых ошибок

(2.24)

Тогда помехоустойчивость кода будет равна:

(2.25)

Вероятность обнаруживаемых ошибок:

,

где Р_НП =1-(1-Р_Э)⁷– вероятность неправильного приема всех семи элементов кода.

Коэффициент обнаружения будет равен:

(2.26)

Если взять Р_Э=10^-3, то К_ОБН=0,998.

Равномерный код, как правило, используется при передачи информации между блоками контроля арифметических операций в ЦВМ (это обычно 2/3, 2/5 код).