Исправление единичных или обнаружение двойных ошибок

Для исправления однократной ошибки в принятой комбинации необходимо определить какой из разрядов был искажен. В циклическом коде опознавателем ошибки является остаток от деления многочленов ошибок на образующий полином P(x). При степени многочлена m=n-k он должен дать (2^n-k-1) ненулевых остатков (нулевой остаток гласит об безошибочной передаче).

Следовательно, необходимым условием исправления любой одиночной ошибки является выполнение неравенства

2^n-k – 1 ≥ = n (2.45)

где- общее число разновидностей ошибок в кодовой комбинации из n символов. Отсюда находим степень образующего многочлена

m = n - k ≥ log(n+1) (2.46)

и общее число символов в кодовой комбинации. Наибольшее значение k и n можно найти из таблицы 2.11

Таблица 2.11

m	1	2	3	5	6	7	8	9	10
n	1	3	7	15	63	127	255	511	1023
k	6	1	4	11	57	120	247	502	1013

Производящая матрица для кода (7,4), исправляющего однократные ошибки, приведена выше.

Обнаружение и исправление независимых ошибок произвольной кратности

Циклический код, исправляющий более одной ошибки в любом сочетании можно построить следующим образом [11]:

1. По заданному числу информационных символов определяется m=n-k и находится образующий полином.

2. Далее, рассматривая код для исправления однократной ошибки как некорректирующий n-разрядный код, определяем (n₁ - n) дополнительных разрядов для обеспечения исправления одной ошибки в этом коде, и находят соответствующий образующий полином, т.е. строится (n₁,n) код.

3. Повторяя длинную процедуру n-раз, можно построить код для исправления независимых ошибок любой кратности.

Однако построенный таким образом код является неоптимальным с точки зрения числа избыточных символов. В этом отношении более совершенен код Боуза-Чоудхури [14], обеспечивающий минимальное число проверочных символов при заданном k. Математическая структура этого кода несколько отлична от рассмотренной ранее и характеризуется более сложными устройствами для обнаружения и исправления ошибок.

Обнаружение и исправление пачек ошибок

Для всех циклических кодов, исправляющих пачки ошибок, образующий многочлен P(x) представляет собой произведение неприводимого многочлена степени m на другой многочлен, вид которого определяется типом кода, а старшая степень с – длинной пачки ошибок, на исправление которой код рассчитан. Следовательно, показатель степени P(x) равен (c+m).

В общем случае степени m и c не могут принимать произвольных значений и для различных типов кодов связаны между собой различной функциональной зависимостью. Длина кодовой комбинации также является функцией m и с. Таким образом общей для всех типов кодов, исправляющих пачки ошибок, методики определения P(x) по заданному k не существует. Однако, зная закономерности построения отдельных классов кодов, можно составить таблицы для определения объема и корректирующей способности реализуемых кодов для различных значений m и c.

Из циклических кодов, предназначенных для исправления пачек ошибок, широко известны коды Файра, Абрамсона, Милласа-Абрамсона и Рида-Соломона. В отличии от указанных 3-х код Рида-Соломона позволяет исправить несколько пачек ошибок.