1.3Равномерное квантование по уровню и связанные с ним погрешности

Квантование сигнала по уровню осуществляется с помощью квантователя (рис.1.3,а), амплитудная характеристика которого определяется способом квантования. На (рис.1.3, б) показана характеристика квантователя и распределение погрешности квантования для случая замены величины x(t) ближайшем меньшим дискретным уровнем. Характеристика и изменение погрешности (рис.1.3, в) соответствует способу замены x(t) меньшим или большим дискретным уровнем. В том случае, когда дискретные уровни не фиксированы относительно нулевого уровня x(t), характеристика квантователя будет смещаться случайным образом относительно характеристики (рис.1.3, б) в вертикальном направлении в пределах от 0 до ∆x.

x_k x(t) x_k

x

Квантователь

(t)x_k(t)x(t)

x_k(t)

t t

∆x б. в.

а.

δ _k  δ_k

t t

-δ_k -δ_k

Рис. 1.3. К определению максимальной погрешности квантования.

а-устройство квантования; б-квантование с заменой сигнала нижним ближайшим уровнем и распределение погрешности; в-квантование с отклонением сигнала к середине интервала и распределение погрешности.

Вследствие квантования функции по уровню появляются методические погрешности, так как действительное мгновенное значение функции заменяются дискретным значением. Эта погрешность имеет случайный характер, которая получила название погрешность квантования, или шумом квантования. Абсолютное ее значение в каждый момент времени определяется разностью между квантованным значением x_k(t) и действительным значением (рис.1.2). Характер ее изменения показан на рисунке 1.3 б, в.

δ_k(t)=x_k(t)-x(t)

Закон распределения этой погрешности зависит от закона распределения x(t).

Пусть функция x(t) подчиняется определенному закону распределения с плотностью ω(x) (рис. 1.4). Диапазон разбивается на интервалы величиной ∆x

ω(x) (кванты). Пусть δ_k случайные отклонения действительного значения функции x(t) от ближайшего меньшего значения дискретного значения погрешности квантования. Очевидно, вероятность появления ошибки δ_k может быть

δ_k δ_k определена как вероятность P(δ_k) попадения функ-

_{01 2 n-1} x_max x ции x(t) в участок δ_k любого из интервалов

Рис.1.4 К определению среднеквадратической погрешности по уровню

∆xквантования:

Дифференцируя обе части данного равенства поδ_k, найдем дифференциальный закон распределения погрешности квантования.

Умножим обе части равенства на ∆x, получим

(1.1)

Правую часть равенства можно рассматривать как приближенное значение площади, заключенный между осью x и кривой ∆(x). Это приближение тем точнее, чем больше число участков квантования. Следовательно, в пределе или

выражение (1.1) приводится к виду

(1.2)

Так как правую часть выражает вероятность нахождения функцииx(t) в пределах от 0 до x_max и будет равна единице, то плотность вероятностей распределения погрешностей распределения погрешностей квантования будет с достаточным приближением

(1.3)

Таким образом, можно полагать, что при достаточно большом числе уровней квантования подчиняется закону распределения равной вероятности (рис.1.5)

В соответствии с рис.1.5 можно записать

-δ_k -∆x δ_k

Рис.1.5. Закон распределения погрешности при большом числе уровней квантования

Математическое ожидание погрешности квантования

(1.4)

Дисперсия погрешности квантования

(1.5)

При квантовании методом замены действительного мгновенного значения функции ближайшим меньшим или большим действительным значением погрешность квантования также подчиняется закону распределения равной вероятности, но изменяется в пределах до рисунок 1.5.

В данном случае справедливо

-δ_k -δ_k

Рис.1.6. Закон распределения погрешности при замене сигнала ближайшим меньшим и большим уровнем квантования.

Математическое ожидание m(δ_k)=0, а дисперсия

(1.6)

Учитывая, что квант в данном случае будет меньше в два раза, чем для выше рассмотренного случая, то относительная погрешность квантования будет в два раза меньше.

При отсутствии фиксации дискретных уровней квантование производится практически путем замены мгновенного значения функции ближайшем меньшим дискретным уровнем (рис.1.2, в). Вследствие этого будет иметь место две погрешности квантования: δ_k1 изменяется в пределах от 0 до -∆x и ∆_k2, изменяющаяся в пределах от 0 до +∆x. Эти погрешности независимы и подчиняются законам распределения равной вероятности (рис.1.7, а, б).

ωδ_k1 ωδ_k1 ω∆_k

δ₂ δ₁

δ_k1 -∆x +∆x δ_k2 -∆x +∆x

а) б) в)

Рис.1.7 К вопросу определения закона распределения погрешности при отсутствии фиксации дискретных уровней квантования.

а, б – закон распределения погрешности в пределах изменения погрешности в пределах от 0 до -∆x и от 0 до -∆x; в – результирующий закон распределения погрешности квантования

Суммарная погрешность квантования изменяется

δ_k=δ_k1+δ_k

в пределах от -∆x до +∆x. Закон распределения суммарной погрешности является комбинацией законов распределения δ_k1 и δ_k2 и выражается распределением Симсона (рис.1.7, в).

Аналогически данное распределение выражается следующим образом:

Математическое ожидание суммарной погрешности квантования

m(δ_k)=0.

Дисперсии погрешности

(1.7)

Таким образом, в случае отсутствия фиксации дискретных уровней относительно начального уровня квантуемой функции среднеквадратическая погрешность квантования увеличивается в раза.