Построение кодов с заданной исправляющей способностью.

При рассмотрении выше корректирующих кодов мы выбирали его заданную значность n. Повышение корректирующей способности достигалось при сохранении n за счет уменьшения множества N=2^k разрешенных кодовых комбинаций (или уменьшения k информационных символов). Обычно на практике коды строятся в обратном порядке: вначале выбирается количество информационных символов k, исходя из поставленной задачи для передачи сообщения, а затем добавляются избыточные символы m для обеспечения заданной корректирующей способности кода.

Пусть известен объем передаваемых сообщений N. Находим необходимое количество информационных символов :

. (2.8)

Пусть также известно количество ошибок Е необходимых исправить.

Задача состоит в том, чтобы при заданных N и Е определить значность кода n, при которой обеспечивается заданная корректирующая способность. Полное число ошибочных комбинаций, подлежащих исправлению, равно Е*2^k=E*N. Так как количество ошибочных комбинаций равно N₀-N=2ⁿ-2^k, то код обеспечивает исправление не более (N₀-N) комбинаций. Следовательно, необходимое условие для возможности исправления ошибок можно записать в виде:

NEN₀-N=2ⁿ-2^k (2.9)

откуда получим

N₀(1+E)N (2.10)

или

(2.11)

Формула (2.11) позволяет определить значность кода n.

Рассмотрим частные случаи. Если имеются ошибки разной кратности, то прежде всего необходимо обеспечить исправление наиболее вероятных (однократных) ошибок.

E=C_n^’=n

В этом случае зависимость (2.11) будет иметь вид:

(2.12)

При построении кода можно пользоваться таблицей вычисленных значений от числа разрядов кода n.

n	2	3	4	5	6	7	8	9
	1.33	2	3.2	5.33	9.2	16	28.4	51.2

Если необходимо исправить ошибки кратности от 1 до q, то можно учесть, что число возможных однократных ошибок Е₁=С_n¹, число возможных двукратных ошибок Е₂=. Число возможных q кратных ошибок Е_q=. Общее число ошибок:

При этом зависимость (2.11) примет вид:

(2.13)

Выражение (2.13) является нижней оценкой для определения числа разрядов n корректирующего кода, обеспечивающего исправление ошибок заданной кратности при известном числе информационных символов k=log₂2^k.

Показатель качества корректирующего кода.

Основным показателем качества корректирующего кода является его способность обеспечить правильный прием кодовых комбинаций при наличии помех, т.е. помехоустойчивость кода. Для количественной оценки помехоустойчивости кода целесообразно использовать вероятность правильного приема кодовых комбинаций Р_пр

Р_пр=1-Р_ош,

где Р_ош – вероятность ошибочного приема кодовых комбинаций.

Если код не обладает корректирующими свойствами, то вероятность приема ошибочного Р_ош будет равна вероятности искажения информационных k кодовых комбинаций P_к (P_ош- P_к). Для корректирующего кода Р_ош <Р_к. В реальных условиях Р_ош1, поэтому более удобной оценкой помехоустойчивости кода будет логарифмическая величина:

(2.15)

Иногда пользуются для оценки качества корректирующего кода коэффициентом обнаружения.

где Р_ОО – вероятность обнаружения ошибки;

Р_К – вероятность искажения всех k символов.

Коэффициент искажения недостаточно полно отражает качество корректирующего кода. Он используется в основном только для оценки качества кодов, предназначенных для обнаружения ошибок. Важной характеристикой является избыточность кода, которая определяет сложность технической реализации аппаратуры, увеличения время передачи и обработки информации. Поэтому важной характеристикой является избыточность кода, которую определяет коэффициент избыточности

, (2.17)

где m – количество избыточных символов.