1.6 Квантование по времени

Дискретизация сигнала x(t) связана с заменой промежутка изменения независимой переменной некоторым множеством точек, т.е. операции дискретизации соответствует отображение

, (1.18)

где x(t) – функция, описывающая сигнал; x(t_i) – функция, описывающая сигнал, полученный в результате дискретизации.

Таким образом, в результате дискретизации исходная функция x(t) заменяется совокупностью отдельных значений x(t_i).

По значению дискретных точек x(t_i) можно восстановить исходную функцию x(t) с некоторой погрешностью. Функцию, полученную в результате восстановления , будем называть воспроизводящей и обозначать y(t).

Воспроизводящая функция y(t) строится как взвешенная функция некоторого ряда функций f(t-t_i).

(1.19)

причем коэффициенты a_i зависят от отсчётов x(t_i), x(t_i-1)… x(t_i-n).

При обработке сигналов дискретизация по времени должна производиться таким образом, чтобы по отсчётным значениям x(t_i) можно было получить воспроизводящую функцию y(t), которая бы с заданной точностью отображала исходную x(t).

При этом приходится решать задачу, как часто следует производить отсчёты, т.е. каков должен быть интервал дискретизации ∆t= t_i - t_i-1.

При малых интервалах дискретизации количество отсчётов на заданном интервале будет большим, а, следовательно, точность восстановления исходной функции будет высокой. И наоборот, при больших интервалах ∆t количество отсчётов уменьшается и точность воспроизведения уменьшается. Возникает задача оптимальной дискретизации, при которой обеспечивается восстановление исходного сигнала с заданной точностью при минимальном количестве выборок. В этом случае все отсчёты существенны для восстановления исходного сигнала. Если не обеспечивается оптимальная дискретизация, то кроме существенных отсчётов имеются избыточные отсчёты.

Избыточные отсчёты загружают канал передачи информации, уменьшают производительность вычислительных средств. Возрастает избыточная мощность и как следствие увеличивается масса аппаратных средств, а также возникают дополнительные расходы на хранение и регистрацию данных. Следовательно, актуальной становится задача сокращения избыточных данных. Сокращение избыточности может осуществляться в процессе дискретизации.

1.7 Классификация методов дискретизации

Исходя из возможных задач, возникающих при дискретизации, рассмотренных в п.1.6, в основу классификации положены основные наиболее существенные признаки: регулярность отсчётов, критерии оценки точности воспроизведения, базисные функции, принцип приближения.

Каждый признак в зависимости от простоты реализации, точностных свойств и функциональных особенностей характеризуются различными методами.

1. Регулярность отсчётов: равномерная, неравномерная, случайная, аддитивная, с кратными интервалами, с некратными интервалами.

2. Критерий оценки точности: максимальный, среднеквадратический, интервальный, вероятноотнозональный.

3. Базисные функции: ряд Фуры, ряд Котельникова, полином Чебышева, полином Лежандра, степенные полиномы, функции Уолша, функции Хаара.

4. Принцип приближения: интерполяция, экстрополяция, комбинированный.

Рассмотрим последовательно признаки.

Регулярность отсчётов. В соответствии с признаком регулярность отсчётов можно выделить две основные группы методов: равномерную и неравномерную дискретизацию.

При равномерной дискретизации

∆t= t_i - t_i+1=const

на всем отрезке от (–Т до +Т) сигнала.

Интервал дискретизации ∆t или выбирается на основании априорных данных о характере изменения сигнала. При равномерной дискретизации приходится решать среди основных вопрос о выборе частоты отсчётов и способа восстановления сигналов.

Методы равномерной дискретизации наиболее часто используются, т.к. в технической реализации просты.

Однако, априорные данные о сигнале не всегда соответствуют принятым, то возникает значительная избыточность данных.

Дискретизация называется неравномерной, когда интервал ∆t=VAR. В этом случае разрабатываются устройства с адаптивной временной дискретизацией (АВД). Интервал дискретизации ∆t изменяется в зависимости от текущего изменения параметров сигнала.

Могут использоваться программируемые методы. Интервал устанавливается с заранее установленной программой.

Неравномерная дискретизация может производиться с интервалами:

а) ∆t_i=k∆_T , k=1,2,3,…, где ∆_T – некоторый фиксированный элементарный интервал.

б)

В первом случае – дискретизация с кратным интервалом, во – втором – с некратным.

Критерии оценки точности воспроизведения. Разность между истинным значением сигнала x(t) и воспроизводящей y(t) функцией составляет погрешность восстановления

δ_в=x(t)-y(t) (1.20)

Выбор критерия оценки погрешности восстановления сигнала зависит от целевого использования сигнала и возможностей аппаратурной реализации.

Чаще других отклонение воспроизводящей функции y(t) от сигнала x(t) на интервале дискретизации ∆t= t_i - t_i-1 оценивается следующими критериями:

1. Критерий наибольшего отклонения

, (1.21)

где δt) – текущая погрешность, определяется выражением (1.20).

Правая часть формулы (1.21) есть норма функции δt) в линейном метрическом пространстве. Расстояние между элементами такого пространства x=x(t) и υ=y(t) определяются по формуле

d(x,υ=max[x(t)-y(t)]. (1.22)

Критерий наибольшего отклонения обычно используется, если известны априорные данные о сигнале.

2. Среднеквадратический критерий, определяемый следующим выражением

(1.23)

где δ(t) текущая погрешность (1.21).

Черта сверху обозначает усреднение по вероятностному множеству.

Использование при неравномерной дискретизации критерия среднеквадратического отклонения связано с усложнением аппаратуры по сравнению с критерием наибольшего отклонения.

3. Интервальный критерий как мера отклоненияx(t) от y(t) имеет вид:

(1.24)

4. Вероятностный критерий определяется соотношением

P{δ(t)<δ₀}=P₀, (1.25)

где δ₀ – допустимое значение погрешности; P₀ – допустимая вероятность того, что погрешность не превысит δ₀.

Базисные функции. Задачи восстановления дискретизированных сигналов в общем случае аналогичны задачам интерполирования функций. При восстановлении исходного сигнала x(t) становится в соответствие некоторый обобщенные многочлен

, (1.26)

значение которого в точках отсчёта t_i совпадает со значениями функции x(t).

Наиболее часто используются степенные алгебраические полиномы вида

, (1.27)

где n – степень полинома; a_j – действительные коэффициенты. Из этого класса функции наиболее полно исследовано применение полиномов нулевой и первой степени.

Если сигнал x(t) задан дискретными значениями в (n+1) – и точке t₀, t₁…t_n , то через точки x(t_k) можно провести бесчисленное множество кривых. Однако на практике интерполирующие функции обычно выбираются в виде степенного многочлена степени n

y(t)= a₀+ a₁t+…+a_ntⁿ

Так как кривая должна проходить через все заданные точки, то неизвестные коэффициенты a₀, a₁…a_n могут быть определены из системы уравнений

a₀+ a₁t+…+a_ntⁿ=x(t₀)

a₀+ a₁t+…+a_ntⁿ=x(t₁) (1.28)

…………………….

a₀+ a₁t+…+a_ntⁿ=x(t_n)

Недостаток такого определения коэффициентов заключается в сложности решения при достаточно большом n системы уравнений (1.28).

С целью упрощения применяются различные способы построения интерполяционных многочленов.

Интерполяционный многочлен Лагранжа строится в виде

(1.29)

Если точки дискретизации являются равноотстоящими, т.е. t_к+1= t_к+h, где h – шаг дискретизации, то целесообразно строить интерполяционный многочлен Ньютона

y(t)= b₀+ b₁(t-t₀)+b₂(t-t₀)( t-t₁)+… (1.30)

Коэффициенты b_к определяются через нулевые разности к-го порядка по формуле:

,

где ,

Тогда интерполяционный многочлен:

Преимущество интерполяционной формулы (1.30) заключается в том, что она состоит из многочленов возрастающих степеней, позволяющих вычислить ограниченное число членов, при которых коэффициенты отличны от нуля.

Погрешности интерполяции степенными полиномами определяется остаточными членом R(t) и не превышает

, (1.31)

где - максимальное значение (n+1) – производная сигнала x(t) в точке t, принадлежащей интервалу интерполяции.

Задача представления сигналов упрощается, если система базисных функций является ортогональной.

Система функций называется ортогональной с весом P(t) на интервале (t₁, t₂), если

, к=m (1.32)

(1.33)

Величина N_к называется нормой системы базисных функций φ(t). Если N=1, то система является ортогональной и нормированной (ортонормированной). По критерию приближения в среднем квадратическом, который сводится к методу наименьших квадратов отклонения аппроксимирующей функции y(t) от сигнала x(t), коэффициенты разложения определяются по формуле

(1.34)

Тогда с заданной точностью:

(1.35)

Если система функции φ(t) ортогональна на заданном интервале с весом P(t)=1, то

(1.36)

Дисперсия погрешности аппроксимации (среднее значение квадрата отклонений)

, (1.37)

где P_x – мощность сигнала x(t).

В качестве ортогональных базисных функций при аппроксимации (разложении) сигналов применяются тригонометрические функции отсчётов, ортогональные полиномы и функции Лежандра, Чебышева, Лагерра, Хаара, Уолша, Эрмита и др. При равномерной дискретизации широко используются ряды Котельникова.

(1.38)

Принцип приближения. По принципу приближения можно выделить три группы методов:

Интерполяционные

Экстраполяционные

Комбинированные (интерполяционно-экстрополяционный)

Экстраполяционные методы не требует задержки сигналов при проведении дискретизации. Они используются в управляющих системах, которые работают в реальном времени.

Для обработки сигналов более эффективны интерполяционные методы, обеспечивающие меньшую избыточность отсчётов по сравнению с экстраполяционными методами. Однако использование интерполяционных методов связано с задержкой сигнала на интервале интерполяции.

Интерполяционно-экстраполяционные методы обладают рядом положительных качеств, присущих им.

При выборе шага дискретизации рассматриваются различные модели сигналов и сводятся соответствующие критерии отсчётов. Можно отметить некоторые из них:

1. Частотный критерий, при котором интервалы дискретизации между отсчётами выбираются с учетом частотного спектра сигнала.

2. Корреляционный критерий отсчётов, устанавливающий связь интервалов между отсчётами с интервалов корреляции сигнала.

3. Квантовый критерий отсчёта, предложенный для детерминированной модели сигнала и устанавливающий зависимость интервалов между отсчётами от значения ступени квантования по уровню и крутизны (первой производной) сигнала.