3.8. Основные методы демодуляции

Измерительная информация, содержащаяся в модулирующем носителе, поступает к получателю. Для выделения сообщения из сигнала необходима обратная операция, которая называется демодуляцией.

В параграфе (3.3 и 3.4) было показано, что в спектре сигнала АМ, ЧМ и ФМ – модуляций нет в чистом виде сообщения (модулирующей функции). Модулирующая функция f(t) в модулированный параметр в виде самоносителя, как это видно из равенств (3.4 и3.18), и поэтому не может быть выделена при помощи фильтров.

В соответствии с различными видами модуляции существуют и различные виды демодуляции, большинство которых связано с промежуточными преобразованиями, приводящими к получению амплитудной модуляции. по этой причине роль методов демодуляции амплитудно-модулированных колебаний становится особенно значительной. Поэтому рассмотрим методы демодуляции амплитудно-модулированных сигналов.

Демодуляция амплитудно-модулированных сигналов

Процесс демодуляции АМ – колебаний весьма сходен с известными процессами однополупериодного или двухполупериодного выпрямления, но цели преследуются другие.

При выпрямлении на вход выпрямителя подается синусоидальное напряжение с постоянной по величине амплитудой. Среднее значение этого напряжения (тока) дает постоянную составляющую, которая является целью выпрямления. Кроме постоянной составляющей, на выходе присутствуют побочные продукты в виде гармоник. Гармоники отфильтровываются фильтром нижних частот.

В случае подачи на вход выпрямителя АМ – колебания среднее значение напряжения будет колебаться с частотой модуляции. существующие на выходе гармоники должны быть отфильтрованы фильтром, но при этом не должны сглаживаться изменения АМ – колебания. Отсюда следует, что для демодулятора особенно важным является правильный выбор фильтра, так как может свести к нулю поставленную цель, т.е. выделить из сигнала сообщение.

При разработке демодулятора для измерительного устройства особо важным является согласование входных и выходных сопротивлений с предшествующими и последующими преобразователями измерительной цепи.

Принцип работы демодулятора можно рассмотреть, взяв для примера идеальный, вольт – амперная характеристика которого показана на (Рис. 3.18,а).

Для тока в цепи диода, являющегося нелинейным элементом могут быть записаны следующие соотношения:

,(3.40)

где S – чувствительность диодов к напряжению (крутизна характеристики)

Рис. 3.18 Вольт – амперная характеристика идеального диода.

Для правильного понимания работы выпрямителей рассмотрим основные свойства четных и нечетных функций. Характеристику диода, как любую нелинейную функцию можно разложить на четную и нечетную части.

Если некоторые физические явления описываются зависимостью a=f(x) и при этом соблюдается условие f(x)=-f(-x), то такая зависимость может быть разложена в степенной ряд по нечётным степеням х.

a=k₁x+k₂x³+k₅х⁵+...

Если в диапазоне значений х возможно приближённое представление ряда только одним первым членом, то с определённой точностью получим a~kx.

Эффекты, описываемые такими приближёнными линейными членами ряда называются нечётными.

В случае справедливости равенства f(x)=f(-x) функция разлагается в ряд:

a=k₀x+k₂x²+k₄х⁴+...

Физические явления, описываемые такими уравнениями называются чётными. Поскольку постоянная составляющая часто не используется, то исключая её из рассмотрения и пренебрегая высшими степенями получим a~k₂x²

Отсюда видно, что чётные эффекты в определённых границах изменения аргументов могут описываться приблизительно квадратичной зависимостью.

Таким образом, различие между чётными и нечётными линейными или нелинейными явлениями вытекает из принципиального различия между чётными и нечётными эффектами и заключаются в том, что нечётные могут быть описаны линейными выражениями, когда как чётные - нелинейными (квадратичными).

В принципе строго линейных зависимостей в природе нет, а наличие нелинейности всегда выявляется, если диапазон изменения величин значительный.

Характеристику диода, как любую нелинейную функцию можно разложить на чётную и нечётную части (рис. 3.18, б, в) так, если есть некоторая функция:

f(x)=fч(х)+fнеч(х) (3.41)

Поскольку для чётной функции справедливо равенство fч(х)=fч(-х), а для нечётной fнеч(х)=-fнеч(-х), то меняя знак в выражении (3.41) получим:

f(-x)=fч(х)-fнеч(х) (3.42)

Складывая и вычитая (3.41) и (3.42), найдём выражение для чётной и нечётной частей данной функции:

fч(х)=0.5[f(x)+f(-x)]

fнеч(х)=0.5[f(x)-f(-x)] (3.43)

Теперь используя (3.40), легко получить чётную и нечётную части нелинейной характеристики диода.

Учтя, что U<0, f(-x)=5, U=0, найдём U3 (3.43)

Iч=0.5*5|U|, (3.44)

где через |U| обозначено абсолютное значение напряжения. Очевидно, для нечётной части получим

Iнеч=0.5*5U (3.45)

Сложив равенства (3.44) и (3.45), получим аналитическое выражение характеристики диода

I=0.5*5(|U|+U) (3.46)

Причём такое выражение пригодно для любых положительных и отрицательных значений напряжения.

Схема простейшего демодулятора изображена на рис. 3.19

Рис. 3.19 Схема простейшего демодулятора

На зажимы 1-1 поступает симметричное амплитудно-модулированное колебание. Поскольку вольтамперная характеристика диода Д несимметрична относительно оси напряжения, кривая тока в цепи становится несимметричной относительно оси времени и, очевидно, может быть разложена в ряд Фурье [17] Харькевич А.А. Спектры и анализ. М: Энергия.1962.-210с., первым членом которого будет постоянная составляющая.

Параллельное соединение R4 и ёмкости С играет роль фильтра, который должен шунтировать выход по высокой частоте, но в то же время передавать изменения модулирующей функции. Для выполнения этого условия необходимо, чтобы соотношения между сопротивлениями емкостной ветви и ветви R4 при несущей частоте ω₀ и частоте Ω удовлетворяли условию:

1/ω₀С << Rн << 1/ΩС (3.47)

Это неравенство означает, что демодулятор (рис. 3.19) может быть заменён двумя эквивалентными схемами, одна из которых справедлива для частоты ω₀, а другая для частоты Ω. Для сравнительно высокой частоты можно пренебречь проводимостью сопротивления нагрузки Rн, а для частоты Ω можно не принимать во внимание проводимость ёмкости С.

Фактически оба сопротивления действуют совместно как интегрирующее звено с постоянной времени τ=RнС. Это звено должно осреднять выходной ток по высокой частоте, в результате чего на выходе возникает постоянная сопротивления.

По более низкой частоте Ω эффект осреднения должен быть меньше для того, чтобы избежать искажений. Если неравенство (3.47) умножить на С, то можно выражение переписать в другой форме

Tω₀ << τ << TΩ, (3.48)

где Тω₀ и ТΩ - периоды несущей и модулирующей частоты соответственно.

Поскольку чётные границы между значениями величин, входящими в неравенство (3.47 и 3.48) установить не возможно, то процесс демодуляции сопровождается искажениями, а значит, методическими погрешностями, тем меньшими по величине, чем больше различие ω₀ и Ω.

Демодуляторы в измерительных устройствах, как правило, выбираются двухполупериодные с чётной функцией (рис. 3.18, в) и описываются равенством:

I=5|U| (3.49)

Напряжение U в выражении (3.49) модулировано и соответствует выражению

U_x(t)=U_o(1+m*sinΩt)*sinω₀t (3.50)

В этом равенстве член U₀(1+m*sinΩt) представляет собой переменную амплитуду, которая всегда имеет положительное значение, т.к. коэффициент модуляции m<1. Выражение для выпрямленного тока в цепи демодулятора можно найти, определив сначало результат выпрямления напряженрия с единичной амплитудой, изменяющийся по закону U=sinω₀t.

Ток в цепи после выпрямления будет пульсирующим и может быть разложен в ряд Фурье [7]

Подставляя (3.50) в (3.49), получим:

i=5Uo(1+m*sinΩt)*|sinω₀t|, (3.51)

где |sinω₀t| обозначает выпрямленную синусоиду амплитуды при двухполупериодном выпрямлении. Разложение этой функции в ряд Фурье даст:

или:

(3.52)

Подставляя (3.52) в (3.51) после преобразования получим:

(3.53)

Анализируя выражение (3.53), видим, что в спектре модулирующая функция и все частные гармоники с частотами 2kω₀ и спутники с частотами 2kω₀±Ω.

После исключения постоянной и фильтрации высокочастотных составляющих получим:

i=2/π*m5Uo*sinΩt (3.54)

Спектры модулированного и немодулированного колебания для простейшего синусоидального или косиносуидального изменения f(t) представлены на рис. 3.20.

Рис. 3.20 Спектры модулированного и демодулированного колебаний.

Процесс нелинейных искажений при демодуляции поясняется на рис. 3.21

Рис. 3.21 К вопросу возникновения нелинейных искажений при демодуляции

Отсюда видно, что кривая 1 напряжения несущей частоты изменяется синусоидально и имеет переменную амплитуду. Конденсатор С в течении каждого полу-периода заряжается через диод, сопротивление которого мало в прямом направлении, а затем разряжается через сопротивление нагрузки Rн в течение отрицательного полупериода. Этот процесс изображён на рис. 3.22 пилообразной кривой 2, состоящий из отрезков экспонент. Причём, когда мгновенное значение напряжения несущей частоты становится меньше напряжения на конденсаторе более высокое напряжение конденсатора запирает диод и амплитуды модулированного колебания по значению меньше напряжения на конденсаторе выпадают (участок t1, t2 на рис. 3.22)

Таким образом, вместо огибающей 1 после демодуляции получится искажённая огибающая 2, представляющая среднее напряжение на ёмкости. Различие формы огибающих говорит о появлении нелинейных искажений под влиянием ёмкости на выходе демодулятора. Нелинейные искажения не будут возникать в том случае, когда огибающие пересекаются. В этом случае диод остаётся открытым. На рис. 3.21 видно, что с момента t1 амплитуда демодулированного напряжения убывает быстрее, чем изменяется выпрямленное напряжение на конденсаторе, и благодаря этому форма кривой 2 в промежутке от t1 до t2 определяется характером разряда конденсатора через сопротивление Rн, а не формой огибающей.

Исходя из сказанного, возникает погрешность, обусловленная отношением скорости изменения огибающей Uог к скорости изменения напряжения на конденсаторе Uc.

Амплитуда модулирующего напряжения или Uог изменяется по закону Uог=U₀*(1+m*sinΩt), скорость изменения огибающей будет:

dUог/dt=mUoΩcosΩt (3.55)

Когда диод заперт, напряжение на разряжающемся конденсаторе определяется известным равенством:

U=Uce^-t/τ,

где τ=RнС

Находим скорость изменения этого напряжения:

(3.56)

Диод будет запертым с того момента t1, когда Uc=Uог. Заменим правую часть равенства (3.56) Uc на Uог, тогда получим для абсолютного значения скорости:

(3.57)

Подставляя в (3.54) значения (3.55) и (3.57), получим абсолютное значение погрешности δ:

Погрешность будет тем больше, чем больше отношение скоростей изменения огибающей и скорости изменения напряжения на конденсаторе.

Величина δ имеет максимальное значение:

(3.57)

Если δ_max<1 в любой момент времени, то скорость убывания амплитуды демодулированного напряжения будет меньше скорости убывания выпрямленного напряжения на ёмкости. При таких условиях диод не будет заперт и при демодуляции нелинейные искажения не возникнут.

Положив δ_max<1, находим условно отсутствие нелинейных искажений в форме неравенства, в котором Ω=Ω_max

(3.58)

Полученное выражение позволяет правильно выбрать величину С при заданном Rн.