1.5 Определение ступеней квантования по погрешности прибора

При разработке цифровых измерительных приборов на стадии проектирования возникает необходимость определить необходимое число ступеней квантования по заданной погрешности прибора. При этом необходимо учесть, что во многих случаях могут быть устранены поправкой или скомпенсированы. При условии, что систематические погрешности прибора устранены, а случайная погрешность δ_с состоит из многих составляющих, которые возникают в результате действия многих независимых случайных величин, то погрешность δ_с является случайной величиной, распределенной по нереальному закону

,

где δ_с - случайная погрешность прибора; M(∆₁) – математическое ожидание случайной погрешности или систематическая погрешность, которая при симметричном законе распределения равна 0; σ(δ_с) – среднее квадратическое отклонение (СКО) случайной погрешности.

Погрешность, возникающая в результате квантования величины, распределена равномерно P₂(δ_к), т.к. внутри пределов одной ступени квантования q_x все значения х равновероятны. Если предусмотрено введение поправки в компенсирующую величину, равную 0,5q_x , то при принятых выше допущениях распределение плотности вероятности следующие при.

Определим СКО суммарной погрешности прибора σδ_, возникающей при наличии случайной погрешности δ_с и погрешности квантования. Учитывая, что дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

СКО суммарной погрешности соответственно

(1.13)

Композиция равномерного и нормального законов распределения приводят к уменьшению доверительных интервалов при заданной доверительной вероятности по сравнению с нормальным законом распределения.

Если отношение 0,5q_x/σδ_c)=0,1…1,0, то доверительный интервал имеет доверительную вероятность Р=0,98. При отношении 0,5q_x/σδ_c)<0,1 при Р=0,99 доверительный интервал равен .

При отсутствии систематических погрешностей можно установить погрешностью γ_пр и СКО этой погрешности δ_c).

При нормальном законе распределения случайной погрешности, то 95% ее значений находятся в пределах от -2σδ_c) до +2σδ_c).

Если принять , то.

Для доверительного интервала в 1σδ_c) P=68%.

Число квантов

Если СКО погрешности квантования принять равнымиσδ_c), то суммарное СКО в результате квантования согласно (1.13) увеличивается на 41% по сравнению с σδ_c).

При ступени квантования q_x=σδ_c) суммарное СКО увеличивается на 4% по сравнению с δ_c), т.е. в этом случае практически не изменяет СКО суммарной погрешности. Этому соотношению примерно соответствует минимально допустимое соотношение c/d=2, установленное ГОСТ 14014-82 (п.6.6), что соответствует равенству аддитивной (γ_а) и мультипликативной (γ_м) составляющих погрешностей. То есть c=γ_а+ γ_м, когда γ_а= γ_м в конце диапазона измерительного прибора x_н.

В этом случае номинальное число ступеней квантования при изменении мгновенных ординат сигнала определяется следующим образом:

q_x=σ(δ_c)= (γ_пр χ_н)/200 для Р=95% (1.14)

q_x=σ(δ_c)= (γ_пр χ_н)/100 для Р=68% (1.15)

Соответственно

для Р=95% (1.16)

для Р=68% (1.17)

Если 0,01% то , если 0,001% то.