1.4 Погрешности квантования при измерениях частоты

Как правило при измерении числа квантов по уровню измеряют частоту импульсов, соответствующего тому или иному уровню. При этом методы измерения частоты бывают разные. В зависимости от того как будет организовано измерение погрешность квантования может быть либо случайной, либо неслучайной величиной.

Первый случай. Рассмотрим многократные измерения одной и той же величины х, отсчитываемой от одной и той же начальной точки х_н. Очевидно, что и отсчет каждый раз будет одним и тем же, а, следовательно, и погрешность не будет изменяться, т.е. будет неслучайной величиной. В общем случае в измеряемой величине х будет целое число квантов.

х

1-ый квант 1-ый rq a)

d=0 q импульс

x_н N=m x_k

x

d=(1-r)q б)

x_н N=m x_k

x=mq+rq

в)

d=(1-r)q x_н N=m+1 х_k

х

d=q г)

x_k x_k

Рис. 1.8 К вопросу определения погрешности квантования при измерении частоты. а, г – крайние и б, в –промежуточные случаи многократных измерений неслучайной величины.

N=m+1- количество импульсов

Целая и еще дробная часть, так что x=mq+rq. При этом

Однако, при одних и тех же значенияхm и r погрешность может оказаться различной в зависимости от расположения начальной точки х_н. Это иллюстрируется на крайних примерах (рис.1.8, а, г). При первом расположении(рис.1.7, а) число импульсов N равно числу целых квантов m и поэтому погрешность квантования

δ_кв1=qm-x=qm-(mq+rq)=-rq (1.8)

При втором расположении (рис.1.7, г) один импульс оказывается лишним

δ_кв2=q(m+1)-x=q(m+1)-(mq+rq)=(1-r)q (1.9)

Таким образом, две возможные абсолютные погрешности выражены в единицах измеряемой величины и составляют соответственно (-rq) и (1-r)q. Из того, что 0  r  1 следует –q < δ_кв  q, т. е. абсолютная погрешность не превышает одного кванта. При измерении частоты абсолютные погрешности квантования выражают не в физических величинах, а просто в импульсах (импульсы на рис.1.7 рассматриваются исходя из идеализированного профиля).

Следовательно, две возможные погрешности запишутся –r и (1-r).

Относительная погрешность соответственно при m=N>>1 запишется

(1.10)

(1.11)

Второй случай. Измеряемая величина х изменяется многократно при случайно меняющейся от измерения к измерению начальной точки х_н. То есть как бы бросать точку х_н совершенно случайно на бесконечности, достаточно длинную шкалу. Расстояние этой точки до ближайшего слева импульса (обозначим его через d рис.1.7), окажется случайной величиной равномерно расположенной от 0 до q. В зависимости от значения d, при каком-либо конкретном измерении, погрешность квантования примет один из двух найденных выше значений –rq или (1-r)q.

Найдем вероятности появления погрешностей как геометрические вероятности попадания точки х_н в определенные участки кванта. Это можно проследить следующим образом. Будем равномерно перемещать точку х_н вправо по кванту, начиная от положения (рис.1.7, а) и при этом следить за положением конечной точки х_k. В выбранном состоянии x_k находится в положении, когда погрешность соответствует значению –rq. Ясно, что число сосчитанных импульсов, а значит и погрешность не изменится до тех пор пока точка x_k не займет положения (рис.1.7, б). При дальнейшем перемещении точки х_н окажется правее следующего импульса. В этот момент число импульсов будет больше на единицу m+1, а погрешность становится равной (1-r)q. Это значение сохранится при перемещении точки до конца кванта. Следовательно, при 0<d<(1-r)q погрешность квантования δ_кв1=-rq (в импульсах –r), а при

(1-r)q<d<q погрешность квантования δ_кв2=(1-r)q (в импульсах 1-r). В целом значение d будет 1-r<d<1.

При равномерном распределении d геометрические вероятности пропорциональны длинам соответствующих участков (рис.1.9). Отсюда вероятность получить погрешность δ_кв1=-r составит P₁=1-r, а вероятность получить погрешность δ_кв2=1-r равна P₁=r.

Рис. 1.9. К вопросу определения погрешностей геометрических вероятностей

При различных значениях r вероятности P₁ и P₁ впишутся в треугольник (рис.1.10)

P

1

r 1-r

P₁=1-r P₁=-r

-1 +1

Рис.1.10. Законы распределения погрешности при втором случае многократных измерений

Математическое ожидание M[δ_кв]=δ_кв1 P₁+δ_кв2 P₂=-r(1-r)+(1-r)r=0.

Заштрихованные площади (рис.1.8) всегда будут равны между собой, поэтому M[δ_кв]=0.

Таким образом, среднее из большого числа результатов, даже грубых измерений, должно совпадать с измеряемой величиной при условии, что попадание в различные участки кванта действительно равновероятно.

Дисперсия D[δ_кв]= δ_кв1² P₁+δ_кв2² P₂=-r²(1-r)+(1-r)²r=r(1-r).

Среднеквадратическое значение

(1.12)

Из выражения видно, что при r=0 среднеквадратическое значение будет равно нулю, а при r=1 среднеквадратическое значение также будет равно нулю. Максимальное значение погрешности будет при значении r=0,5.

Известно, что при усреднении результатов измерений погрешность измерений можно уменьшить в раза. Если организовать измерения с примыкающими интервалами, т.е. начало следующего измерительного интервала совпадает с предыдущим, то среднеквадратическое значение погрешности уменьшится в n-раз. Это равносильно однократному измерению, увеличенному в n раз, т.е. nx.

Третий случай. В третьем случае при фиксированной начальной точке x_н изменяется измеряемая величина x(t). В этом случае погрешность квантования является неслучайной величиной случайной величины. Действительно увеличивая x(t), начиная от 0 (рис.1.11), можно проследить за изменением погрешности.

x

q-d

d a)

0 x_н x

+q

б) d

0x_н x

q-d

-q

Рис.1.11. К вопросу определения погрешности для третьего случая многократных измерений.

а – изменение изменяемой величины x(t).

б – изменение погрешности

Пока перемещение x(t) изменяется от 0 до (q-d) (рис.1.10, а) не появляется ни одного импульса. В этом случае погрешность квантования δ_кв=∆x(t), т.е. равна ста процентам.

В момент появления первого импульса погрешность делает скачек (рис.1.10, б) от (q-d) до d и затем снова убывает, т.е. δ_кв=q-x(t) до появления второго импульса. В этом случае δ_кв=2q-x(t) и т.д. до значения δ_кв=nq-x(t).

Получив зависимость δ_кв=f(x), можно искать вероятностные характеристики δ_кв как случайные величины. Если x(t) изменяется линейно (рис.1.12), то закон распределения плотности вероятности P(x) функции погрешности δ_кв=f(x) будет просто зеркальным отображением закона распределения x(t).

dd

0 x

+q

d

x P(δ_кв)

1 2 3

q-d

-q 2

P(x) 3

x

Рис.1.12. К вопросу определения закона распределения погрешности для третьего случая многократных измерений

Но в действительности отдельные участки взаимосвязаны и перемещены, как показано штриховыми линиями.

Легко видеть, что если функция x(t) простирается в пределах многих квантов и не изменяется резко внутри одного кванта, то плотность вероятности внутри каждой из разрезанных частей примерно постоянна. Таким образом, сложение всех плотностей дает в результате равномерный закон распределения погрешности. Следовательно, среднеквадратическая погрешность будет равна как и для случаев приведенных в параграфе 1.3 (формула 1.5). В импульсах .

Четвертый случай. Начальная x_н и конечная x_к точки случайно попадают в пределах первого кванта, так и в пределах последнего кванта будет равномерный закон распределения погрешности. Сумма этих законов будет иметь закон распределения погрешности Симсона. Известно, что для закона распределения Симсона среднеквадратическая погрешность . Как и в случае, приведенном в параграфе 1.3 (формула 1.7).