Связь исправляющей способности с кодовым

РАССТОЯНИЕМ.

Из выше сказанного следует, что при взаимно независимых ошибках наиболее вероятен переход в кодовую комбинацию, отличающуюся наименьшим числом символов. Следовательно, вероятность однократной ошибки самая большая.

Степень различия любых двух кодовых комбинаций характеризуется кодовым расстоянием (по Хэммингу) или просто кодовым расстоянием. Наименьшее кодовое расстояние между разрешенными кодовыми комбинациями d_min- очень важная характеристика кода, ибо именно она характеризует его корректирующую способность. Очевидно, что при d_min=1 все кодовые комбинации являются разрешенными.

Например, при n=3 разрешенные комбинации образуют следующее множество:

Таблица 2.1

А1	А2	А3	А4	А5	А6	А7	А8
000	001	010	011	100	101	110	111

Любая одиночная ошибка трансформирует данную комбинацию в другую разрешенную комбинацию. Это случай равнодоступности кода, не обладающего способностью обнаруживать и исправлять ошибки.

Пусть необходимо построить код обнаруживающий и исправляющий ошибки кратности t и ниже.

Построить такой код – это значит из множества N₀=2ⁿ возможных выбрать N=2^k разрешенных так, чтобы любая из них в сумме по модулю два с любым вектором ошибки ω_it не дала бы в результате ни какой другой разрешенной комбинации, а только запрещенную.

Для проверки этого утверждения берем ближайшее минимальное кодовое расстояние d_min=2. Чтобы правильно выбрать кодовое расстояние d_min=2 рационально построить матрицу кодовых расстояний. Матрица кодовых расстояний для n=3 представлена в таблице 2.2

По диагонали сумма по модулю два любой кодовой комбинации с собой дает нули. Левая часть матрицы симметрична относительно диагонали правой.

Из матрицы выбираем ближайшее после единицы кодовое расстояние d_min=2 и задаем минимальную кратность ошибки t=1.

В этом случае можно выбрать из первой строки матрицы следующие разрешенные кодовые комбинации

А1=000; A2=011; A6=101;A7=110.

В этом случае минимальное кодовое расстояние будет равно

d_mint+1 (2.5)

Таблица 2.2

	А1	А2	А3	А4	А5	А6	А7	А8
А1	0	1	1	2	1	2	2	3
А2		0	2	1	2	1	3	2
А3			0	1	2	3	1	2
А4				0	3	2	2	1
А5					0	1	1	2
А6						0	2	1
А7							0	1
А8								0

Следовательно, для обнаружения ошибки кратности t=1 требуется d_min=2, для t=2 – d_min=3 и т.д. для любой заданной кратности. Очевидна справедливость условия d<n.

Определим минимальное кодовое расстояние для исправления кодовой ошибки кратности q. Зададимся минимальной кратностью, равной q=1. В качестве первой разрешенной выберем кодовую комбинацию А1=000. При наличии однократных ошибок она может перейти в одну из следующих комбинаций: А2=001,А3=010,А5=100. Следовательно, кодовые комбинации А2,А3,А5 можно принять в качества подмножества запрещенных. Это означает, что в случае неправильного приема кодовой комбинации А, мы получим одну из комбинаций, относящуюся к подмножеству запрещенных.

Пусть в качестве второй разрешенной возьмем кодовую комбинацию А4=011, что соответствует кодовому расстоянию для обнаружения однократной ошибки. Комбинации А4 будет соответствовать подмножество оставшихся запрещенных кодовых комбинаций

А6=101;A7=110;A8=111.

Например, при ошибке в первом разряде получится запрещенная кодовая комбинация А4+е=011+001=010, что соответствует подмножеству запрещенных кодовых комбинаций, приписанных к разрешенной А1=000. Подмножества пересеклись. Следовательно, d_min=2 для исправления ошибки кратности q=2 недостаточно. Возьмем d_min ближайшее равное 3. В этом случае в качестве разрешенных выберем комбинации А1=000 и А3=111 (d_min=3). Для первой разрешенной остается подмножество запрещенных А2=001, А3=010, А5=100. Для второй приписываем подмножество А4=011, А6=101, А7=110. Подмножества не пересекаются. Следовательно, минимальное кодовое расстояние для исправления ошибок кратности q требуется:

d_min2q+1 (2.6)

Аналогично рассуждая, можно установить d_min для обнаружения и исправления ошибок заданной кратности. Оно будет равно:

d_mint+q+1 (2.7)

при этом должно выполнятся условие

tq.