5.4.2. Уравнение Бартона – Прима – Слихтера для расчета

эффективного коэффициента распределения примеси

Эффективный коэффициент распределения примеси К_эф определяют как отношение концентрации примеси в твёрдой фазе у фронта кристаллизации к концентрации примеси в ядре расплава за пределами диффузионного пограничного слоя (см. рис. 5.9а)

. (5.29)

Рассмотрим как зависит эффективный коэффициент распределения К_ЭФ от равновесного коэффициента распределения примеси К₀ и условий протекания направленной кристаллизации. Найдем распределение примеси в расплаве при совместном действии двух механизмов массопереноса – диффузии и конвекции. Сведения, приведенные в пункте 5.4.1, позволяют сделать следующие модельные допущения (см. рис. 5.9а):

1. концентрация примеси в расплаве кроме времени зависит еще только от одной пространственной координаты - расстояния до фронта кристаллизации (т.е. рассматриваем одномерное приближение);

2. за пределами диффузионного пограничного слоя благодаря конвективному перемешиванию происходит полное выравнивание концентрации примеси в расплаве

;

3. в пределах диффузионного пограничного слоя перенос примеси осуществляется только диффузионным путем. Конвективным перемешиванием в пределах диффузионного пограничного слоя пренебрегаем. Далее будем полагать, что коэффициент диффузии примеси в расплаве есть величина постоянная;

4. скорость расплава у фронта кристаллизации не может иметь составляющей, перпендикулярной поверхности растущего кристалла;

5. предположим также, что источники примеси в объеме расплава отсутствуют, и отсутствует массовое взаимодействие расплава с паровой фазой.

Для дальнейшего анализа воспользуемся подвижной системой отсчета К, начало которой постоянно совмещено с плоскостью фронта кристаллизации, а ось OZ ориентирована по нормали к фронту вглубь расплава. Относительно растущего кристалла система К движется равномерно вдоль оси OX со скоростью движения фронта кристаллизации (см. рис. 5.9б).

Билет 14

билет 14 Принцип работы лазеров, инверсная населенность

Принцип работы квантовых усилителей и генераторов лазеров

Рассмотрим прохождение плоской монохроматической волны с частотой ω через среду, в единице объема которой атомов находится в энергетическом состоянии , а атомов – в состоянии . Пусть для определения и в пределах спектральной линии . Будем считать, что волна имеет интенсивность и распространяется в направлении z со скоростью v, как показано на рисунке 1.

Рисунок 1. Прохождение плоской электромагнитной волны через слой вещества толщиной dz

Определим изменение интенсивности волны dI_ω при прохождении через слой вещества толщиной dz. Число квантов, поглощённых в этом слое за счёт переходов Е₁ → Е₂ будет равно N₁b₁₂(ω)ρ(ω)dz, где b₁₂(ω) – дифференциальный коэффициент Эйнштена. Число квантов, испущенных за счёт индуцированных переходов Е₂ → Е₁, будет равно N₂b₂₁(ω)ρ(ω)dz. Сечение слоя в плоскости, перпендикулярной оси z, для простоты примем равным единице.

Поскольку спонтанное излучение ненаправленно, его вкладом в изменение интенсивности I_ω пренебрежём. Тогда получим изменение интенсивности монохроматической волны в слое толщиной dz, обусловленное как процессами вынужденного излучения (увеличивают интенсивность, поэтому в формуле для них используется знак «+»), так и процессами поглощения (уменьшают интенсивность, поэтому в формуле перед ними – знак «-»):

Здесь учтены связи между коэффициентами Эйнштейна через форму спектральной линии. Величина v = c/n есть скорость распространения света в среде с показателем преломления n. Принимая во внимания связь между коэффициентами Эйнштейна для вынужденных переходов с испусканием и поглощением, получаем окончательно:

(1)

Отсюда видно, что если , или , то изменение интенсивности электромагнитной волны dI_ω будет отрицательным, т.е. волна будет ослабляться. Величина, равная отношению числа частиц в единице объёма на данном энергетическом уровне к его статистическому весу, называется населённостью энергетического уровня или просто населённостью. Т.е. проходящая через среду волна будет ослабляться, если населённость уровня с большей энергией будет меньше населённости уровня с меньшей энергией . Наоборот, если , то dI_ω > 0 и волна будет усиливаться.

Состояние вещества, при котором населенность верхнего энергетического уровня превышает населенность нижнего уровня, называется инверсией населенностей. Величину называют степенью инверсии, или инверсной перенаселённостью. Инверсия населённостей является необходимым, но недостаточным условием для получения усиления в среде. Достаточным условием будет превышение усиления, достигнутого за счет процессов вынужденного испускания, над всеми возможными потерями. Если частота перехода ω₂₁ лежит в оптическом диапазоне, то соответствующий усилитель называется лазерным, если в СВЧ-диапазоне – мазерным.

Обозначим коэффициент пропорциональности в (1), стоящий перед I_ωdz, через - k_ω. Тогда

(2)

и (1) можно переписать в виде , где коэффициент k_ω есть показатель поглощения среды. В случае, если k_ω не зависит от интенсивности I_ω и координаты z, элементарное интегрирование даёт экспоненциальный закон изменения интенсивности:

. (3)

Качественно изменение интенсивности света при прохождении его через некую среду в зависимости от показателя поглощения этой среды изображено на рисунке 2.

Рисунок 2. Изменение интенсивности света при прохождении через поглощающую (усиливающую) среду

Поскольку отрицательное поглощение есть усиление, то отрицательный показатель поглощения называют показателем усиления (точнее натуральным показателем усиления), и обозначают α_ω = - k_ω. Если населённости уровней равны, то α_ω = k_ω = 0. Этот случай соответствует просветлению среды.

Т. к. функция g(ω) нормирована, то

. (4)

эта величина называется интегральным показателем поглощения для данного типа переходов. Здесь учтено, что ширина спектральной линии мала и в пределах спектральной линии ω изменяется слабо по сравнению с g(ω), поэтому при интегрировании множитель ђω можно вынести из-под интеграла.

Если система находится в условиях термодинамического равновесия, то населённости её энергетических уровней будут определяться распределением Больцмана ( ~ ), так что в обычных условиях всегда , т.е. среда поглощает. Для получения Для получения усиления необходимо создать в среде инверсию населенностей, для чего нужно вывести систему из состояния равновесия, т. е. возбудить. Естественно, что не любое возбуждение и не в каждом веществе приведет к инверсии населенностей. Среду, в которой при определенных условиях может быть создана инверсия населенностей, называют лазерной (или мазерной) активной средой, а соответствующий рабочий элемент усилителя – активным элементом. Уровни энергии, между которыми может быть создана инверсия населенностей, называют рабочими лазерными уровнями энергии. Процесс возбуждения активной среды (активного вещества) с целью получения инверсии населённостей называют накачкой, а источник этого возбуждения – источником накачки.

Общая схема квантового усилителя представлена на рисунке 3.

Рисунок 3. Общая схема квантового усилителя

Источник накачки создает в активном элементе инверсию населенностей между рабочими уровнями Е_m и Е_n. Входной сигнал I_ωвх на частоте ω = (E_m - E_n)/ђ, проходя через активный элемент, усиливается за счет процессов индуцированного испускания, так что на выходе получается усиленный сигнал I_ωвых. Коэффициент усиления усилителя, равный отношению I_ωвых/I_ωвх (его не надо путать с показателем усиления среды α_ω), экспоненциально возрастает согласно (3) в соответствии с длиной активного элемента и степенью инверсии , которая определяется числом активных частиц в единице объема вещества и интенсивностью накачки.

Если в активном элементе усилителя создана большая степень инверсии ΔN и показатель усиления α_ω велик, то по достижении некоторого критического значения ΔN усилитель может превратиться в генератор: вдоль оси активного элемента будет генерироваться так называемое усиленное спонтанное излучение. Но легче всего усилитель превратить в генератор, введя положительную обратную связь. Напомним, что в электронных усилителях это достигается тем, что часть сигнала с выхода (например, с анода лампы или с коллектора транзистора) подают на вход (например, на управляющую сетку лампы или эмиттер транзистора). Аналогично для превращения квантового усилителя в квантовый генератор следует часть усиленной мощности с выхода подать на вход, осуществляя положительную обратную связь. В лазерах эту функцию выполняют оптические резонаторы: активный элемент размещают между двумя строго параллельными друг другу зеркалами, как показано на рисунке 4. Плоская электромагнитная волна, распространяющаяся в направлении, перпендикулярном зеркалам резонатора, будет поочередно отражаться от них, усиливаясь при каждом последующем прохождении через активную среду. Одно из зеркал делают полупрозрачным для вывода лазерного излучения. Изменяя коэффициент отражения этого зеркала, можно изменять величину обратной связи. В квантовых генераторах СВЧ-диапазона (мазерах) обратную связь осуществляют путем помещения активной среды в объемный резонатор.

Рисунок 4. Общая схема лазера

Как и в обычных генераторах, процесс генерации в лазерах и мазерах развивается из некоторого «затравочного» излучения, которым, как правило, является шум. Шумом, с которого развивается генерация, в нашем случае является спонтанное излучение: всегда найдется «затравочный» фотон, испущенный спонтанно в направлении, близком к направлению, параллельному оси резонатора.

Как ив обычных генераторах, в лазерах и мазерах генерация возможна лишь при выполнении некоторого порогового условия. Необходимо, чтобы усиление за один проход в активном элементе превышало все потери, в том числе потери за счет пропускания одного из зеркал. Так как коэффициент усиления зависит от степени перенаселенности рабочих уровней, которая в свою очередь определяется интенсивностью накачки, то существует некоторая критическая (пороговая) мощность накачки, при которой начинает развиваться процесс генерации.

Пороговой мощности накачки соответствует критическая инверсия. Достигнув критической инверсии, генерация разовьется из спонтанного излучения. В отличие от излучения «классических» источников в оптическом диапазоне лазерное излучение:

1) когерентно, поскольку в основе усиления лежит процесс вынужденного испускания;

2) направленно, так как положительная обратная связь максимальна в определенном направлении;

3) монохроматично, ибо излучение определяется переходами в пределах узкой спектральной линии и усиление максимально вблизи максимума спектральной линии, а генерация осуществляется на частотах, близких к собственным частотам резонатора.

Ранее мы предполагали, что показатель поглощения k_ω (или показатель усиления α_ω) не зависит от интенсивности излучения. Это предположение справедливо до того момента, пока излучение I_ω не вызывает заметных отклонений в распределении частиц по энергетическим уровням, т. е. в случае малых интенсивностей. На самом деле излучение I_ω обязательно нарушает равновесие системе. Если вероятность переходов под влиянием поля излучения (которая пропорциональна I_ω) меньше вероятности релаксационных переходов, то этим нарушением можно пренебречь. В случае, когда эти вероятности становятся сравнимы, происходит изменение населенностей уровней. Под действием мощного излучения на частоте ω₁₂ населенности уровней Е₁ и Е₂ стремятся выровняться и абсолютная величина показатель поглощения k_ω (или усиления α_ω) уменьшается. Этот нелинейный процесс, играющий важную роль в развитии и поддержании генерации лазера, приводит к так называемому эффекту насыщения, который будет рассмотрен ниже.