8 Диэлектрическая нелинейность в электрическом поле

Сегнетоэлектрики являются нелинейными диэлектриками, то есть их электрическая поляризация Р нелинейно зависит от напряженности электрического поля Е. Это значит, что в сегнетоэлектриках диэлектрическая проницаемость кристалла  зависит от напряженности поля Е

P = ₀E = (-1)₀E, (2.5)

где  - диэлектрическая восприимчивость, ₀ – электрическая постоянная.

Различают диэлектрическую нелинейность в переменном и постоянном электрических полях. В первом случае диэлектрическая нелинейность называется эффективной, а во втором реверсивной. Рассмотрим их подробнее.

Эффективная нелинейность

Нелинейная связь между Р и Е сегнетоэлектрика, о которой говорилось выше, проявляется в характерной зависимости диэлектрической проницаемости  от напряженности переменного электрического поля.

Так как

(2.6)

где P_s – спонтанная поляризация, а Р_инд - индуцированная поляризация, то сначала по мере увеличения полной поляризации P сегнетоэлектрика за счет спонтанной поляризации увеличивается и величина . При определенной величине напряженности электрического поля, характерной для данного материала, образец становится поляризованным (монодоменным), и вклад спонтанной поляризации в общую поляризацию уменьшается. В связи с этим уменьшается и величина , измеряемая как функция амплитуды переменного поля. Таким образом, зависимость (Е_) проходит через максимум (рис. 2.14).

В сильных переменных полях прирост полной поляризации происходит только за счет индуцированной поляризации, при этом, как указывалось,  падает, приближаясь к значениям, обусловленным чисто индуцированным механизмом поляризации.

Рис. 2.14. Зависимость эффективной  от амплитуды

переменного электрического поля

Так как  нелинейно зависит от поля, то само определение диэлектрической проницаемости усложняется. В зависимости от условий измерения  сегнетоэлектрического материала вводят различные понятия . Познакомимся еще с одним понятием - эффективной диэлектрической проницаемостью, измеряемой в сильных переменных электрических полях.

Определение эффективной диэлектрической проницаемости получено из определения эффективной емкости.

Эффективной емкостью нелинейного конденсатора С_эф называется емкость такого линейного конденсатора, заряд которого q_max при максимальном (амплитудном) значении напряжения U_max равен заряду нелинейного конденсатора при том же напряжении, т.е.

C_эф = q_max / U_max. (2.7)

Таким образом, при определении эффективной емкости мы заменяем нелинейный конденсатор линейным, а _эф оценивается по емкости конденсатора, находимой из значения его поляризации при данном амплитудном значении поля (рис. 2.15). Из зависимости Р от Е эффективная диэлектрическая проницаемость _эф находится как тангенс угла наклона прямой, проведенной из начала координат в точку с координатами Р₁Е₁:

_эф1 = Р₁/E₁= tg ₁. (2.8)

Рис. 2.15. Определение эффективной _эф из кривой Р(Е)

Мерой нелинейности сегнетоэлектрика по переменному полю является коэффициент нелинейности К_эф, называемый также коэффициентом эффективной нелинейности. Он определяется как отношение максимального значения _max к начальной диэлектрической проницаемости

К_эф = _max /_нач. (2.9)

Для характеристики нелинейных свойств сегнетоэлектрика по переменному полю важно также знать величину Е_max, при которой достигается максимальное значение _max. Только сочетание большого коэффициента нелинейности К_эф и малого значения Е_max характеризует сегнетоэлектрик с высокими нелинейными свойствами по переменному полю. Например, для кристалла сегнетовой соли К_эф = 20 при Е_max =100 В/см, а для ВаТiO₃ коэффициент К_эф = 5 при Е_max = 5-10 кВ/см. Вообще для современных сегнетоэлектрических материалов К_эф изменяется от 1 до 50 .

За характеристику эффективной нелинейности принимают также величину N_эф - относительный коэффициент нелинейности по переменному полю

(2.10)

Значение N_эф зависит от амплитуды приложенного напряжения и достигает максимального значения в районе максимальной крутизны кривой _эф(Е_).

Эффективная нелинейность сегнетоэлектриков связана с механизмом переполяризации доменов, который является относительно инерционным механизмом (время переключения домена > 1 мксек). Поэтому с ростом частоты приложенного напряжения все меньшее число доменов успевает переориентироваться за период изменения напряжения и _эф уменьшается, а Е_max растет. При этом эффективная нелинейность уменьшается. Она практически исчезает на частотах более 10⁶- 10⁷ Гц. Следовательно, это низкочастотное свойство сегнетоэлектриков, которое можно практически использовать лишь в низкочастотных цепях - в основном в электротехнике.

Реверсивная нелинейность

Сведения о нелинейных свойствах сегнетоэлектрического кристалла можно также получить, если прикладывать к кристаллу сильное постоянное электрическое поле, а  измерять в слабом переменном поле.

Диэлектрическая проницаемость сегнетоэлектрика, измеренная в слабом поле высокой частоты при одновременном приложении большого постоянного смещающего поля, называется реверсивной диэлектрической проницаемостью _r .

У большинства сегнетоэлектриков воздействие смещающего поля приводит к снижению _r , в чем и проявляются нелинейные свойства. Типичная зависимость реверсивной диэлектрической проницаемости от смещающего поля представлена на рис. 2.16. Подобная кривая характерна для сегнетоэлектриков с фазовым переходом 2-го рода, для сегнетоэлектриков с фазовым переходом 1-го рода _r сначала несколько увеличивается, а затем уменьшается, как и в случае фазовых переходов 2-го рода.

Рис. 2.16. Зависимость реверсивной  от смещающего поля

В отличие от эффективной нелинейности, которая обусловлена перестройкой доменной структуры и которая отсутствует в параэлектрической фазе, где доменов нет, реверсивная нелинейность наблюдается не только в сегнетоэлектрической фазе, но и в парафазе несколько выше Т_С. Более того, реверсивная нелинейность не исчезает на высоких частотах измерительного поля и существует вплоть до СВЧ.

Физическая природа реверсивной нелинейности сегнетоэлектриков еще не вполне ясна. Различными учеными выдвигаются разные гипотезы для ее объяснения. Одно из наиболее распространенных объяснений заключается в следующем: постоянное поле большой напряженности "связывает" переориентацию доменов, и участие доменов в поляризации переменным измерительным полем уменьшается. Это и приводит к понижению _r. Этот механизм, безусловно, играет роль, когда измерительное поле велико (т.е. имеет такую величину, что при этом имеет место переполяризация доменов) и имеет низкую частоту. Однако этот механизм маловероятен при слабых или высокочастотных полях Е_, кроме того, он не имеет места выше точки Кюри, где отсутствует доменная структура.

При температурах выше Т_С уменьшение диэлектрической проницаемости может быть связано с явлением насыщения индуцированной поляризации в сильных постоянных электрических полях. В сегнетофазе роль этого механизма мала, т.к. на ионы, электроны и ядра кристалла действуют сильные внутренние поля спонтанной поляризации во много раз большие внешних смещающих полей.

Для оценки нелинейных свойств по постоянному полю вводят относительный коэффициент нелинейности N₌, аналогичный тому, который применяется для характеристики нелинейности по переменному полю

(2.11)

Нетрудно убедиться, что N₌ характеризует крутизну наклона реверсивной характеристики _r(Е₌) и достигает максимального значения в районе ее максимальной крутизны.

В случае постоянного поля Е₌ коэффициент N₌< 0, а в случае Е_ величина N_эф может быть как больше, так и меньше нуля, поэтому его значение берут по модулю.

На практике реверсивную нелинейность часто характеризуют коэффициентом реверсивной нелинейности, т.е. отношением максимального значения _max при Е₌ = 0 к минимальному значению _min при максимальном значении поля

К₌ = _max /_min. (2.12)

Этот коэффициент показывает, во сколько раз изменяется  под влиянием смещающего поля.

Удобной характеристикой нелинейности является также глубина модуляции диэлектрической проницаемости смещающим полем, равная

(2.13)

Отметим, что наиболее сильная зависимость  наблюдается в полях, соответствующих максимальному _эф.

Билет 12

билет12, вопрос1

УШИРЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИЙ

При рассмотрении энергетических состояний квантовых систем в нас не интересовал вопрос о ширине дискретных энергетических уровней атомов и молекул, и эти уровни принимались бесконечно узкими. Излучательным переходам между такими идеализированными уровнями энергии соответствовала бы бесконечно узкая спектральная линия излучения (или поглощения) на строго фиксированной частоте.

Распределение интенсивности излучения (или поглощения) по частоте в пределах данной линии характеризуется функцией g(ω), которая называется форм-фактором спектральной линии или просто формой линии. Эта функция нормирована

(1)

Для характеристики относительной ширины спектральной линии используют понятие добротности спектральной линии, которая численно равна отношению резонансной частоты ω₀ в максимуме линии к ее ширине Δω на уровне половинной интенсивности.

В реальных квантовых системах существует ряд факторов, приводящих к уширению их энергетических уровней и соответственно к уширению спектральных линий. Рассмотрим наиболее характерные из них.

Естественное уширение. Это уширение связано с конечностью времени пребывания атомов и молекул в возбужденном состоянии, что, как отмечалось, приводит к «размытию» энергетического уровня на величину порядка δE≈ħ/τ. Отметим, что «естественная ширина линии» определяет тот предел, уже которого спектральная линия в естественных условиях быть не может.

Форма спектральной линии, определяемая конечным временем жизни в возбужденном состоянии, была получена ранее, где было показано, что спектр излучения затухающего осциллятора описывается функцией Лоренца ( , ) или, другими словами, спектральная линия имеет лоренцеву форму. Это выражение перепишем в виде

, (2)

г де Δω =γ - ширина линии на уровне 0,5 от максимума, а ω₀ — резонансная частота. Если переход осуществляется в основное состояние 0, то Δω=γ=А_m0. Если нижний уровень n неявляется основным, то необходимо учитывать возможность спонтанного распада не только верхнего m, но и нижнего n уровней. В этом случае . Заметим, что чем больше вероятность спонтанного испускания A_m, тем больше естественная ширина спектральной линии.

Типичное значение естественной ширины линии для разрешенных в дипольном приближении переходов в видимой области спектра Δω=А_mn≈10⁸ с^-1, т. е. Δν порядка 20 МГц при ν_o=5*10¹⁴ Гц.

Для переходов с метастабильных уровней естественная ширина линии существенно меньше и при тех же условиях имеет порядок сотен герц.

Так как коэффициент Эйнштейна А_mn~ν³ [ ], то в радиодиапазоне естественная ширина линии существенно меньше, чем в оптическом диапазоне. Например, для газообразного аммиака NH₃ спектральная линия перехода с частотой ν_o = 24870 МГц (λ₀=1,25 см) имеет естественную ширину~ 10^-3Гц.

Д оплеровское упшренне. Эффект Доплера есть изменение частоты (длины волны), наблюдаемое при движении источника волн относительно приемника. Этот эффект вытекает из теории относительности и характерен для любых волн, в том числе для звуковых, электромагнитных и т. д. Если источник излучает электромагнитные волны с собственной частотой ω₀, то длянаблюдателя, относительно которого он движется со скоростью v (рис. 1.12), воспринимаемая частота излучения . (3)

При v « с (с — скорость света)

(4)

Хаотичность теплового движения атомов и молекул в газе приводит к тому, что вместо одной резонансной линии с частотой ω₀ приемник воспринимает совокупность плотно расположенных линий, огибающая которых дает наблюдаемый контур спектральной линии, как показано на рис. Ширина этого спектра пропорциональна наиболее вероятной скорости частиц в газе (т. е. зависит от температуры) и собственной частоте перехода ω₀. Зная распределение частиц по скоростям (распределение Максвелла)

, (5)

где - наиболее вероятная скорость движения частиц в газе, и учитывая выражение 4), можно получить форму спектральной линии, обусловленную доплеровским уширением

. (6)

Здесь

, (7)

— ширина доплеровской линии на уровне 0,5 от максимального значения при ω=ω₀. Подставляя численные значения констант в (7), получаем формулу, удобную для численных расчетов

, (8)

где М - относительная молекулярная масса, а температура Т выражена в К.

Функция (6) есть функция Гаусса, поэтому говорят, что линия, уширенная за счет эффекта Доплера, имеет гауссову форму.

В условиях газового разряда для легких атомов величина , что для видимой области спектра при ν_o=10¹⁴ Гц дает ГГц. В радиодиапазоне, например, для линии аммиака ν_o=24870 МГц, при комнатной температуре доплеровское уширение , т. е. в миллионы раз превышает естественную ширину линии.

Уширение вследствие столкновений. Столкновения атомов с другими атомами, ионами, свободными электронами или стенками сосуда в газе, а также взаимодействие атомов с решеткой в твердых телах (которое можно рассматривать как столкновение с фононом) приводят к увеличению скорости обмена энергией между частицами и соответственно к уменьшению времени жизни атома в возбужденном состоянии. Форма спектральной линии, уширенной за счет столкновений, будет описываться функцией Лоренца, как и при естественном уширении. Но вместо Δω=γ=А_mn в (2) должно стоять Δω = 1/τ_р, где τ_р — время релаксации, определяемое процессами столкновений, так называемыми газокинетическими соударениями.

Оценим величину τ_р, например, для атомов неона при давлении Ра 60 Па а 0,5 мм рт. ст. (характерное давление в He-Ne лазере). Время релаксации будет приблизительно равно интервалу времени τ_ст между двумя столкновениями атомов Ne. Величину τ_ст в свою очередь можно оценить как отношение средней длины свободного пробега атома λ к средней тепловой скорости v_T. Из кинетической теории газов имеем

, (9)

где а_в — эффективный боровский радиус атома (молекулы); Р - давление газа. При комнатной температуре τ_ст ≈59*10^-7 с, чему соответствует ширина линии Δν ≈0,3 МГц.

Отметим, что τ_ст обратно пропорциональна, а ω₀ прямо пропорциональна давлению газа. Поэтому если уширение линии за счет столкновений в рассмотренном случае меньше доплеровского уширения, то для СО₂-лазеров, в которых рабочий газ находится при атмосферном давлении, столкновительное уширение может преобладать над доплеровским.

Особенно эффективно процессы релаксации из возбужденных состояний могут осуществляться в твердых телах при взаимодействии с колебаниями решетки. При этом τ_ст может составлять 10^-9 - 10^-12 с, приводя к существенным уширениям соответствующих спектральных линий.

Уширение за счет влияния внутренних (внутрикристаллических) и внешних электрического и магнитного полей. Этот механизм уширения определяется эффектами Зеемана и Штарка. Если зеемановское или штарковское расщепления меньше ширины каждого подуровня, то рядом расположенные подуровни частично перекрываются, вызывая уширение соответствующих спектральных линий.

В качестве активных материалов твердотельных лазеров широко используют различные кристаллы, в решетку которых введены специальные ионы - активаторы. К. ним, например, относится рубин - кристалл окиси алюминия А12О3, легированный хромом. Ионы хрома Сг³⁺ . являющиеся рабочими ионами, замещают ионы алюминия А1³⁺ и находятся под воздействием сильного внутрикристаллического электрического поля Е_кр, со стороны ближайших к ним ионов алюминия и кислорода, которое сдвигает и расщепляет энергетические уровни Сг³⁺. Тепловые колебания решетки приводят к тому, что внутрикристаллическое поле флуктуирует вокруг некоторого среднего значения. Это вызывает хаотическое смещение энергетических уровней Сг³⁺ и соответственно «флуктуации» спектральной линии, что эквивалентно ее уширению. Понижение температуры уменьшает флуктуации и ширину спектральной линии. Кроме того, вследствие возможного неоднородного окружения активного иона, обусловленного неоднородностями кристалла или посторонними дефектами, возникает дополнительное уширение суммарной линии. Последнее наиболее сильно проявляется в активированных стеклах, где окружение каждого из активных ионов различно. Могут быть и другие механизмы уширения спектральных линий, например вызванные неоднородностями среды.

Различают однородное и неоднородное уширение. Уширение называется однородным, если линии каждого отдельного атома и системы в целом уширяются одинаково. К однородному уширению относятся естественное уширение, уширение за счет процессов столкновений, и т. д. Уширение называется неоднородным, если резонансные частоты отдельных атомов не совпадают и распределяются в некоторой полосе частот, приводя к уширению линии системы в целом при существенно меньшем уширении линии отдельных атомов. К неоднородному уширению относятся доплеровское уширение, уширение за счет неоднородностей среды и т. д.

Форма однородно уширенных спектральных линий обычно хорошо описывается функцией Лоренца g_L(ω), а форма неоднородно уширенных линий - функцией Гаусса g_G(ω).

Подчеркнем, что в чистом виде спектральная линия будет уширена однородно или неоднородно в случае, когда преобладает какой-то один механизм уширения. Нередко общее уширение спектральной линии определяется одновременно несколькими механизмами. В этом общем случае форма линии будет определяться сверткой функций g₁(ω) и g₂(ω).

Приложение 1.

Источник: Гауэр Дж. – Оптические системы связи.

12.2Распределение нелетучей примеси в кристаллах, полученных зонной перекристаллизацией