2. Плотность теплового потока. Закон Фурье

Перенос энергии в форме тепла в движущейся жидкости реализуется главным образом двумя механизмами: теплопроводностью и конвекцией (лучистый теплообмен во внимание принимать не будем, пологая, что температура среды не слишком велика). Поэтому для полной плотности потока энергии в форме тепла можем записать

(2.3.2)

Теплопроводность - это процесс распространения тепла от более нагретых элементов среды к менее нагретым, не связанный с макроскопическим перемещением вещества, а обусловленный энергообменом между атомами и молекулами, совершающими хаотическое тепловое движение. Для изотропных тел плотность потока тепла, передаваемого по механизму теплопроводности , подчиняется закону Фурье:

. (2.3.3)

Здесь λ- индивидуальная материальная характеристика среды, называемая коэффициентом теплопроводности. . Если в рассматриваемом потоке жидкости перепад температур не слишком велик, то для упрощения дальнейших рассуждений можно принять λ=const.

Конвективный теплоперенос – это перенос тепловой энергии вместе с потоком движущейся жидкости. Плотность потока тепловой энергии, передаваемой путем конвекции, определяется выражением:

. (2.3.4)

В справедливости этого равенства можно убедиться путем таких же рассуждений, что и в п.2.2.3.2 при получении формулы .

Совместный перенос теплоты теплопроводностью и конвекцией называют конвективным теплообменом (теплопереносом). Суммируя выражение (2.3.3) и (2.3.4) для полной плотности потока энергии в форме тепла получаем

(2.3.5)

3. Уравнение энергии

Уравнением энергии принято называть дифференциальное уравнение, которому подчиняется поле температур движущейся жидкости. Для вывода уравнения энергии воспользуемся уравнением баланса энтальпии (2.3.1)

(1)

и выражением (2.3.5) для полной плотности потока энергии в форме тепла:

. (2)

Будем рассматривать удельную энтальпию как функцию температуры и давления. Тогда

(3)

Примем для простоты, что жидкость несжимаема и потому

(4)

В этом случае

(5)

где с_P – удельная теплоемкость жидкости при постоянном давлении. [с_P] = Дж/(кг·К). Примем, что в рассматриваемом диапазоне температур теплоемкость жидкости можно считать величиной постоянной

. (6)

С учетом (5) и (6) левая часть (1) может быть представлена в виде

(7)

Подставляя (2) в (1) и учитывая (7), для несжимаемой жидкости (ρ = const), с постоянным коэффициентом теплопроводности (λ = const) и постоянной удельной изобарной теплоёмкостью (с_Р = const) получим

(8)

Рассмотрим второе слагаемое правой части (8). Согласно известной формуле векторного анализа для несжимаемой жидкости находим

. (9)

Для несжимаемой жидкости согласно уравнению неразрывности

, (10)

вследствие чего формула (9) упрощается и принимает вид

. (11)

Интегрируя (6) в соответственных пределах от некоторой стандартной температуры Т₀ до текущего её значения T, получаем

. (12)

С учетом (12) согласно (11) для рассматриваемой жидкости находим

. (13)

С помощью (13) уравнение (8) можно преобразовать к виду

. (2.3.6)

Учитывая определение материальной производной, после деления на ρ∙с_P≠0 получаем

. (2.3.7)

Величину

(2.3.8)

принято называть коэффициентом температуропроводности. [a]=м²/с. Уравнение (2.3.7) есть уравнение конвективного теплообмена или уравнение энергии. Оно, как и уравнение диффузии, относится к классу параболических уравнений в частных производных второго порядка. Математические методы решения этих уравнений одни и те же. Так же как и уравнение конвективной диффузии, уравнение энергии (2.3.7) следует рассматривать совместно с уравнением движения жидкости (для определения поля скоростей), либо поле скоростей жидкости должно быть задано.

3 Уравнение нестационарной теплопроводности в неподвижной среде

Для неподвижной среды и уравнение энергии (2.3.7) принимает вид

. (2.3.9)

Это и есть уравнение нестационарной теплопроводности. Оно применимо в тех случаях, когда преобладает только один механизм теплопереноса, а именно, процесс теплопроводности.