5.3.2. Многократная зонная перекристаллизация

Рассмотрим перераспределение примеси между твердыми фазами и расплавленной зоной длиной l при смещении фронта кристаллизации на величину dx вдоль слитка сечением S в очередном процессе многократной зонной перекристаллизации (рис. 5.8). Пусть N₀^ТВ(x) – распределение концентрации примеси в перекристаллизуемом слитке. Для рассматриваемого прохода зоны он играет роль подпитывающей фазы; N^ТВ(x) – распределение примеси в слитке после очередного прохода зоны.

При перемещении расплавленной зоны на dx (см. рис.5.8):

1. из жидкой фазы в кристаллизующийся объем Sdx перейдет N^ТВ(x)Sdx атомов примеси;

2. в расплавленную зону из перекристаллизуемого слитка поступит N₀^ТВ(x+l) Sdx атомов примеси и равномерно распределится по всему объёму зоны;

3. изменение количества атомов примеси в расплавленной зоне будет равно Q^Ж = N^Ж(x+dx) Sl – N^Ж(x) Sl.

N^ж(х)

N^тв

N^ж(х + dx)

N^тв

Рис. 5.8. К выводу дифференциального уравнения для распределения концентрации нелетучей примеси вдоль слитка, полученного многократной зонной перекристаллизацией

Согласно условию материального баланса, разность между количеством атомов, поступивших в расплавленную зону из подпитывающей фазы при смещении фронта плавления, и вышедших из неё в растущий кристалл при смещении фронта плавления, будет равно изменению количества атомов в расплавленной зоне

N₀^тв(x+l)Sdx – N ^тв (x)Sdx = [N^ж(x+dx) – N^ж (x)]Sl . (5.14)

Используя в правой части (5.14) определение равновесного коэффициента распределения K₀ = (N ^тв/N^ж)_{ФР КР}, после сокращения на общий множитель S получим

[ (x+l) – N^ТВ(x)]dx = [N^ТВ(x+dx) – N^ТВ(x)], (1)

или, учитывая определение производной,

[ (x+l) – N^ТВ(x)] = . (2)

В итоге приходим к дифференциальному уравнению относительно концентрации нелетучей примеси в кристалле, получаемом при очередном квазистатическом проходе расплавленной зоны. Для сокращения записи равновесный коэффициент К₀ обозначим здесь через К

. (5.15)

Обсудим граничное условие для N^ТВ(x) при х = 0. Когда жидкая зона образуется в начале перекристаллизуемого слитка, концентрация примеси в расплаве будет равна

. (5.16)

Согласно определению (5.1) для равновесного коэффициента распределения, первые порции образующейся твердой фазы будут иметь концентрацию примеси

N^ТВ(0) = KN = . (5.17)

Для n-го прохода зоны вдоль одного и того же слитка уравнения (5.15) и (5.17) примут вид

, (5.18)

= . (5.19)

Предельное теоретическое распределение примеси

в готовом слитке

После многократного прохода расплавленной зоны вдоль слитка в одном и том же направлении достигается предельное распределение примеси, которое не изменяется при последующих проходах зоны. Обозначим его N_∞^ТВ(x). В соответствии с (5.18) предельное теоретическое распределение будет удовлетворять уравнению

, (5.20)

решение которого имеет вид

= Ae^Bx , (5.21)

где А и В – некоторые постоянные величины, подлежащие определению. Подставляя (5.21) в (5.20) получаем трансцендентное уравнение для определения постоянной B

ABe^Bx + Ae^Bx = Ae^Bxe^Bl . (5.22)

После сокращения на общий, не равный нулю множитель Ae^Bx и некоторых преобразований, уравнение (5.22) упрощается и принимает вид

Bl = K(e^Bl – 1) . (5.23)

Уравнение для определения постоянной А найдем из условия сохранения полного количества атомов нелетучей примеси в слитке в ходе многократной зонной перекристаллизации

Q = Q . (5.24)

При этом будем для простоты полагать, что распределение (5.21) реализуется до конца готового слитка длинной L. Т.е. предлагается экспоненциальная аппроксимация для распределения концентрации примеси в области «схода» зоны с готового кристалла. Предполагая далее, что исходный слиток легирован однородно с концентрацией примеси N₀, согласно (5.24) получаем

N₀SL = S . (5.25)

Согласно (5.25) с учётом (5.21) будем иметь

N₀L = A e^BL – 1), (5.26)

откуда для определения постоянной А получаем формулу

A = . (5.27)

Как показывают численные оценки, теоретическое значение минимально достигаемой относительной концентрации примеси после многократной зонной перекристаллизации (N_∞^ТВ/N₀)_{MIN ТЕОР} составляет величину порядка 10^-32%. Реально получаемая в процессе многократной зонной перекристаллизации минимальная относительная концентрация примеси (N_∞^ТВ/N₀)_{MIN РЕАЛ} может достигать величины порядка 10^-12%.

В рассмотренных выше моделях зонной перекристаллизации не учтены многие факторы, свойственные реальным процессам. Важнейшими из них являются:

• взаимодействие расплава с паровой фазой;

• взаимодействие расплава с материалом контейнера;

• конечная скорость кристаллизации и наличие эффективного коэффициента распределения примеси (см. 5.4).

Билет 13

билет13,1?Полуппроводниковые светодиоды

Светодиод является полупроводниковым излучающим прибором с одним или несколькими электрическими переходами, который преобразует электрическую энергию в энергию некогерентного светового (электромагнитного) излучения. Светоизлучающий диод (СИД) – основной и наиболее универсальный излучатель некогерентной оптоэлектроники. Это обусловливает следующие его достоинства: высокое значение КПД преобразования электрической энергии в оптическую; относительно узкий спектр излучения (квазимонохроматичность) для одного типа диодов, с одной стороны, и перекрытие почти всего оптического диапазона излучения диодами различных типов – с другой; высокая для некогерентного излучателя направленность излучения; малые значения прямого падения напряжения, что обеспечивает электрическую совместимость СИД с интегральными схемами; высокое быстродействие; Светодиоды используют в оптических линиях связи, индикаторных устройствах, оптопарах и т.д. В основе работы полупроводниковых светоизлучающих диодов лежит ряд физических явлений, важнейшие из них: инжекция неосновных носителей в активную область структуры электронно-дырочным гомо- или гетеропереходом; излучательная рекомбинация инжектированных носителей в активной области структуры.