5.3.1. Распределение нелетучей примеси в кристалле,

полученном после первого прохода расплавленной зоны

вдоль однородно легированного исходного слитка

Найдем распределение нелетучей примеси в кристалле, полученном после первого прохода расплавленной зоны вдоль однородно легированного исходного слитка. Пусть длина зоны равна l, поперечное сечение получаемого слитка, расплавленной зоны и слитка, играющего роль подпитывающей фазы, равны S. До этапа схода зоны со слитка объём расплавленной зоны остаётся неизменным в ходе процесса V^Ж = S·l = const. Поскольку примесь нелетуча, не будет происходить изменения её концентрации в паровой фазе dN^П = 0. Равновесный коэффициент распределения примеси будем считать постоянным (K₀ = const). Рассмотрим квазистатический режим кристаллизации, при котором примесь успевает однородно распределиться по всему объему расплавленной зоны (рис. 5.6). В этом случае уравнения материального баланса (5.4) и баланса объемов (5.5) примут вид

N^твdV^тв + V^жdN^ж + N^подпdV^подп = 0 , (5.11)

dV^тв + dV^подп = 0 . (5.12)

N^Ж

N^ТВ

Подпитыв

фаза

N^ПОДП

S

К₀ < 1

Готовый

кристалл

N^Ж

Рис.5.6. Схема процесса квазистатической зонной перекристаллизации

Проинтегрируем уравнение материального баланса примесного компонента (5.11) с учетом уравнения баланса объемов (5.12). Заменив в (5.12) dV^подп на - dV^тв , получим

dV^тв (N^тв – N^подп) = -V^ЖdN^ж. (1)

В соответствии с определением (5.1) для равновесного коэффициента распределением примеси и условием K₀ = const имеем

dN^ж = dN^тв/K₀ . (2)

Изменение объема твердой фазы представим в виде (см. рис. 5.6)

dV^тв= Sdx . (3)

Объем жидкой фазы до этапа кристаллизации последних порций расплава при сходе зоны со слитка будет равен

V^ж = Sl . (4)

С учетом (2) – (4) уравнение (1) примет вид

. (5)

После интегрирования обеих частей уравнения (5) в пределах, соответствующих изменению координаты x от нулевого до текущего значения, будем иметь

, (6)

откуда находим

. (7)

Установим связь между N^тв (0) и N^подп. Поскольку N^подп = const (рассматриваем первый проход зоны вдоль однородно легированного исходного слитка), то после расплавления «первой» зоны, концентрация в ней легирующей примеси будет совпадать с N^подп . Первая бесконечно малая порция твердой перекристаллизованной фазы будет содержать примесные атомы с концентрацией

N^тв (0) = K₀ = K₀N^подп . (8)

Это позволяет переписать равенство (7) в виде

. (5.13)

Формула (5.13) дает теоретическое распределение примеси по длине перекристаллизованного слитка после первого прохода зоны в условиях:

• полного выравнивания состава жидкой фазы;

• отсутствия массового взаимодействия между паровой и конденсированными фазами;

• N^ПОДП = const;

• K₀ = const.

Она не описывает распределение примеси в хвостовой части перекристаллизованного слитка длинной l, где зона «сходит» со слитка и реализуется режим нормальной направленной кристаллизации. Там при K₀ < 1 в твердую фазу выделяется вся примесь, накопившаяся в расплавленной зоне. Формула (5.13) и рис. 5.7 показывают, что концентрация примеси заметно меняется лишь в начальной части кристалла.

N^ТВ/N^ПОДП

Рис. 5.7. Теоретические кривые распределения нелетучей примеси по длине кристалла, полученного однократной зонной перекристаллизацией однородно легированного исходного слитка. Числа у кривых указывают значения равновесного коэффициента распределения примеси

Однако зонная перекристаллизация может быть повторена многократно и тем самым может быть повышена степень очистки.