10.4Равновесие с квотами на экстерналии

Для этого равновесия верен аналог второй теоремы благосостояния, т. е. утверждение о том, что Парето-оптимум экономики с экстерналиями можно реализовать как равновесие.

Теорема 109:

Пусть (xˆ, yˆ) — Парето-оптимальное состояние экономики с экстерналиями с Xi = Rl+ . Предположим также, что

•xˆik > 0 i, k / Ei ;

•функции полезности ui(x, y) дифференцируемы по переменным xik, k / Ei ; произ-

водственные функции gj(y, x) дифференцируемы по переменным yjk, k / Ej ;

•существует благо k0 , для которого выполнены условия (O);

•функции ui(x, y) вогнуты по переменным xik, k / Ei ; функции gj(y, x) вогнуты по переменным yjk, k / Ej .

Тогда существуют цены p, множества квотируемых благ Qi и Qj , квоты x˜, y˜ , и транс-

ферты S, такие что (p, xˆ, yˆ) является равновесием с квотами. При этом множества квотируемых благ можно выбрать так, что Qi = Ei и Qj = Ej .

Доказательство: Ограничимся схемой доказательства. В предположениях теоремы выполнены условия регулярности, и можно воспользоваться теоремой Куна — Таккера того, чтобы охарактеризовать Парето-оптимум (xˆ, yˆ). В качестве цен благ возьмем множители Лагранжа для балансовых ограничений σk . В качестве множеств Qi и Qj квотируемых благ выберем любые множества благ, содержащие все блага из Ei и Ej соответственно. Квоты установим в соответствии с рассматриваемым оптимальным состоянием, т. е. x˜ik = xˆik k Qi и y˜jk = yˆjk k Qj .

Далее доказывается, что xˆi является решением задачи (10.7) при данных ценах и квотах и доходах βi = pxˆi . Действительно, точка xˆi является допустимой в этой задачи и в ней выполнены условия первого порядка, что следует из выполнения условий первого порядка для

оптимума Парето:

λi ∂ui(xˆ, yˆ) = σk i k / Ei.

Условия первого порядка в данном случае являются достаточными условиями оптимальности. Аналогичным образом доказывается, что yˆj является решением задачи (10.8).

Для доказательства теоремы осталось указать величины трансфертов S, такие что (p, xˆ, yˆ, x˜, y˜, S) является равновесием с квотами. Трансферты следует подобрать так, чтобы с их учетом дохо-

ды потребителей были равны расходам, т. е. βi = pxˆi . Требуемыми трансфертами являются величины

Замечание: Включив в множество Qi (Qj ) все блага, по которым функция полезности ui(x, y) (соответственно, производственная функция gj(y, x)) не является вогнутой, мы получим вариант доказанной теоремы для случая невыпуклой экономики. Этот прием можно использовать и для реализации Парето-оптимума как равновесия в экономике без экстерналий.

Замечание: Теорема верна и без условия дифференцируемости (2)???. При этом условие (3)??? заменяется на предположение о локальной ненасыщаемости по благам, которые не порождают экстерналий.